Question

Bài 4 (2,5 điểm):

Cho tam giác \( ABC \) nhọn (\( AB < AC \)) có đường cao \( AD \) và đường phân giác trong \( AO \) (\( D, O \) thuộc cạnh \( BC \)). Kẻ \( OM \) vuông góc với \( AB \) tại \( M \), \( ON \) vuông góc với \( AC \) tại \( N \).

a) Chứng minh bốn điểm \( D, M, N, O \) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh \( OM = ON \) và \( \widehat{BDM} = \widehat{ODN} \).

c) Qua \( O \), kẻ đường thẳng vuông góc với \( BC \) cắt \( MN \) tại \( I \), \( AI \) cắt \( BC \) tại \( K \). Chứng minh \( K \) là trung điểm của \( BC \).

Answer 1

a: Ta có: \(\widehat{ADO}=\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^0\)

=>A,M,D,O,N cùng thuộc đường tròn đường kính AO

=>D,O,N,M cùng thuộc một đường tròn

b: Xét ΔAMO vuông tại M và ΔANO vuông tại N có

AO chung

\(\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\)

Do đó: ΔAMO=ΔANO

=>OM=ON

Xét tứ giác AMDO có \(\widehat{AMO}=\widehat{ADO}=90^0\)

nên AMDO là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BDM}=\widehat{BAO}\left(=180^0-\widehat{MDO}\right)\)

mà \(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)(AO là phân giác của góc BAC)

và \(\widehat{CAO}=\widehat{NDO}\)(ADON là tứ giác nội tiếp)

nên \(\widehat{BDM}=\widehat{NDO}\)