Bài 3 (2,5 điểm). Cho tam giác \( ABC \) nhọn \( (AB < AC) \) nội tiếp đường tròn \( (O) \) và có hai đường cao \( BE, CF \) cắt nhau tại \( H \). \( AH \) cắt \( (O) \) tại \( K \) khác \( A \), \( KE \) cắt \( (O) \) tại \( M \) khác \( K \), \( BM \) cắt \( EF \) tại \( N \).
a) Chứng minh tứ giác \( BCEF \) nội tiếp.
b) Chứng minh \( BM \cdot BN = BE^2 \).
c) Chứng minh \( N \) là trung điểm của \( EF \).
a: Xét tứ giác BCEF có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BCEF là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
\(\widehat{BMK};\widehat{BAK}\) là các góc nội tiếp chắn cung BK
=>\(\widehat{BMK}=\widehat{BAK}\)
mà \(\widehat{BAK}=\widehat{BCF}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)
và \(\widehat{BCF}=\widehat{BEF}\)(BFEC là tứ giác nội tiếp)
nên \(\widehat{BME}=\widehat{BEN}\)
Xét ΔBME và ΔBEN có
\(\widehat{BME}=\widehat{BEN}\)
\(\widehat{MBE}\) chung
Do đó: ΔBME~ΔBEN
=>\(\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{BE}{BN}\)
=>\(BE^2=BM\cdot BN\)
