a: Xét tứ giác OQAI có \(\widehat{OQA}+\widehat{OIA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OAQI là tứ giác nội tiếp
=>O,A,Q,I cùng thuộc một đường tròn
b: Xét tứ giác QOIA có \(\widehat{QOI}=\widehat{OQA}=\widehat{OIA}=90^0\)
nên QOIA là hình chữ nhật
=>QA//OI và QA=OI
QA//OI nên QA//OK
QA=OI
mà OI=OK
nên QA=OK
Xét tứ giác QKOA có
QA//OK
QA=OK
Do đó: QKOA là hình bình hành
=>QK//OA
c: Hình chữ nhật OQAI có OQ=OI
nên OQAI là hình vuông
=>OA=QA=AI=OI=R
ΔOQA vuông tại Q
=>\(S_{OQA}=\dfrac{1}{2}\cdot QO\cdot QA=\dfrac{1}{2}\cdot R\cdot R=\dfrac{R^2}{2}\)
ΔOIA vuông tại I
=>\(S_{IOA}=\dfrac{1}{2}\cdot IO\cdot IA=\dfrac{1}{2}R^2\)
Diện tích hình quạt tròn OQI là:
\(S_{q\left(OQI\right)}=\dfrac{\Omega\cdot R^2\cdot90}{360}=\Omega\cdot\dfrac{R^2}{4}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến AQ,AI và cung nhỏ IQ là:
\(S_{OQA}+S_{OIA}-S_{q\left(OQI\right)}=R^2-\Omega\cdot\dfrac{R^2}{4}\)
d: Xét (O) có
\(\widehat{AIE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến IA và dây cung IE
\(\widehat{IFE}\) là góc nội tiếp chắn cung IE
Do đó: \(\widehat{AIE}=\widehat{AFI}\)
Xét ΔAIE và ΔAFI có
\(\widehat{AIE}=\widehat{AFI}\)
\(\widehat{IAE}\) chung
Do đó: ΔAIE~ΔAFI
=>\(\dfrac{AI}{AF}=\dfrac{AE}{AI}\)
=>\(AI^2=AE\cdot AF\)
