a: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>A,E,H,F cùng thuộc đường tròn đường kính HA
Tâm I là trung điểm của AH
b: Gọi giao điểm của AH và BC là N
Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại N
Xét (O) có
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
=>CA\(\perp\)CD
mà BH\(\perp\)CA
nên BH//CD
Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
=>BA\(\perp\)BD
mà CH\(\perp\)AB
nên CH//BD
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
Do đó: BHCD là hình bình hành
Xét ΔAFH vuông tại F và ΔANB vuông tại N có
\(\widehat{FAH}\) chung
Do đó: ΔAFH~ΔANB
=>\(\dfrac{FA}{NA}=\dfrac{FH}{NB}\)
=>\(\dfrac{FA}{FH}=\dfrac{NA}{NB}\)
Xét ΔANB vuông tại N và ΔACD vuông tại C có
\(\widehat{ABN}=\widehat{ADC}\)
Do đó: ΔANB~ΔACD
=>\(\dfrac{NA}{CA}=\dfrac{NB}{CD}\)
=>\(\dfrac{NA}{NB}=\dfrac{CA}{CD}\)
=>\(\dfrac{CA}{CD}=\dfrac{FA}{FH}\)
=>\(CD\cdot FA=CA\cdot FH\)
