a: Xét tứ giác AOCN có \(\widehat{OAN}+\widehat{OCN}=90^0+90^0=180^0\)
nên tứ giác AOCN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính ON
=>A,O,C,N cùng thuộc đường tròn đường kính ON
Tâm K là trung điểm của ON
Bán kính là \(\dfrac{ON}{2}\)
b: ΔABC vuông tại A
mà AO là đường trung tuyến
nên OA=OB=OC
Xét ΔOAM vuông tại A và ΔOBM vuông tại B có
OM chung
OA=OB
Do đó: ΔOAM=ΔOBM
=>\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\)
=>OM là phân giác của góc AOB
ΔOAB cân tại O
mà OM là đường phân giác
nên OM\(\perp\)AB tại D và D là trung điểm của AB
Xét ΔOCN vuông tại C và ΔOAN vuông tại A có
ON chung
OC=OA
Do đó: ΔOCN=ΔOAN
=>\(\widehat{CON}=\widehat{AON}\)
=>ON là phân giác của góc AOC
ΔOAC cân tại O
mà ON là đường phân giác
nên ON\(\perp\)AC tại E và E là trung điểm của AC
Xét tứ giác ADOE có \(\widehat{ADO}=\widehat{AEO}=\widehat{DAE}=90^0\)
nên ADOE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{EOD}=90^0\)
=>\(\widehat{MON}=90^0\)
ΔOAM=ΔOBM
=>MA=MB
ΔOCN=ΔOAN
=>NC=NA
Xét ΔOMN vuông tại O có OA là đường cao
nên \(AM\cdot AN=OA^2=\left(\dfrac{1}{2}BC\right)^2=\dfrac{BC^2}{4}\)
