a: Xét tứ giác AOCN có \(\widehat{OCN}+\widehat{OAN}=90^0+90^0=180^0\)
nên AOCN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính ON
Tâm K là trung điểm của ON
b:
Ta có: ΔABC vuông tại A
mà AO là đường trung tuyến
nên OA=OB=OC=1/2BC
Xét ΔOAN vuông tại A và ΔOCN vuông tại C có
ON chung
OA=OC
Do đó: ΔOAN=ΔOCN
=>CN=NA
=>N nằm trên đường trung trực của AC(3)
ta có: OA=OC
=>O nằm trên đường trung trực của AC(4)
Từ (3),(4) suy ra ON là đường trung trực của AC
=>ON\(\perp\)AC tại E và E là trung điểm của AC
Xét ΔOAM vuông tại A và ΔOBM vuông tại B có
OM chung
OA=OB
Do đó: ΔOAM=ΔOBM
=>MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB tại D và D là trung điểm của AB
Xét tứ giác ADOE có \(\widehat{ADO}=\widehat{AEO}=\widehat{DAE}=90^0\)
nên ADOE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{EOD}=90^0\)
=>ΔMON vuông tại O
Xét ΔMON vuông tại O có OA là đường cao
nên \(AM\cdot AN=OA^2=\left(\dfrac{1}{2}BC\right)^2=\dfrac{1}{4}BC^2=\dfrac{BC^2}{4}\)
