1:
Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại A
=>AB\(\perp\)AC
Xét (O) có
EA,EB là các tiếp tuyến
Do đó: OE là phân giác của góc AOB
=>\(\widehat{AOB}=2\cdot\widehat{AOE}\)
Xét (O) có
FA,FC là các tiếp tuyến
Do đó: OF là phân giác của góc AOC
=>\(\widehat{AOC}=2\cdot\widehat{AOF}\)
Ta có: \(\widehat{AOB}+\widehat{AOC}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\left(\widehat{AOE}+\widehat{AOF}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{FOE}=180^0\)
=>\(\widehat{FOE}=90^0\)
=>OE\(\perp\)OF
2: Xét (O) có
EA,EB là các tiếp tuyến
Do đó: EA=EB
=>E nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra OE là đường trung trực của AB
=>OE\(\perp\)AB tại H
Xét (O) có
FA,FC là các tiếp tuyến
Do đó: FA=FC
=>F nằm trên đường trung trực của AC(3)
Ta có: OA=OC
=>O nằm trên đường trung trực của AC(4)
Từ (3),(4) suy ra OF là đường trung trực của AC
=>OF\(\perp\)AC tại K
Xét tứ giác AHOK có
\(\widehat{AHO}=\widehat{AKO}=\widehat{KAH}=90^0\)
nên AHOK là hình chữ nhật
=>OA=HK
=>HK=R không đổi khi A di chuyển trên (O)
3: Xét ΔOEF vuông tại O có OA là đường cao
nên \(AE\cdot AF=OA^2\)
mà AE=EB và AF=FC
nên \(EB\cdot FC=OA^2=R^2\) không đổi khi A di chuyển trên (O)
4: I là trung điểm của EF
nên I là tâm đường tròn đường kính EF
ΔOEF vuông tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI=IE=IF
=>O nằm trên (I)
Xét hình thang BEFC có
I,O lần lượt là trung điểm của EF,BC
=>IO là đường trung bình của hình thang BEFC
=>IO//BE//FC
Ta có: IO//BE
BE\(\perp\)BC
Do đó: IO\(\perp\)BC
Xét (I) có
IO là bán kính
BC\(\perp\)IO tại O
Do đó: BC là tiếp tuyến của (I)
=>BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm I, đường kính EF
