BĐT này đúng cho mọi số thực a;b;c, không nhất thiết phải là số dương. Và đẳng thức chỉ xảy ra khi có 1 số bằng 0 (đồng nghĩa theo đúng đề bài thì đẳng thức ko xảy ra).
Ta có: \(12=a^2+3b^2+4c^2>a^2+3b^2+3c^2>3\left(b^2+c^2\right)\ge6bc\)
\(\Rightarrow bc< 2\)
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P.
\(P=3a-abc+3\left(b+c\right)=\left(3-bc\right).a+\sqrt{3}.\sqrt{3}\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow P^2\le\left[\left(3-bc\right)^2+3\right].\left[a^2+3\left(b+c\right)^2\right]\)
\(\Rightarrow P^2\le\left(b^2c^2-6bc+12\right)\left(a^2+3b^2+3c^2+6bc\right)< \left(b^2c^2-6bc+12\right)\left(12+6bc\right)\)
Đặt \(bc=x\Rightarrow0< x< 2\)
\(\Rightarrow P^2< \left(x^2-6x+12\right)\left(6x+12\right)=6x^3-24x^2+144\)
\(\Rightarrow P^2< 144-6x\left(4-x\right)\)
Do \(0< x< 2\Rightarrow x\left(4-x\right)>0\)
\(\Rightarrow P^2< 144\Rightarrow P< 12\) (đpcm)
Dấu "=" chỉ xảy ra trong trường hợp a;b;c ko âm hoặc a;b;c là số thực bất kì, khi đó dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(3;1;0\right)\)
