Để giải quyết các phần của bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần một cách chi tiết.
### b) Chứng minh AK vuông góc với BM
1. **Xét tam giác ABC**:
- Tam giác ABC cân tại A, nên $AB = AC$.
- Đường cao AH cắt tia phân giác BD tại điểm I.
2. **Xét đường thẳng BM**:
- Đường thẳng BM cắt đường cao AH tại điểm N.
- Đường thẳng BM cắt đường thẳng AK tại điểm P.
3. **Chứng minh AK vuông góc với BM**:
- Vì N là giao điểm của BM và AH, nên N thuộc tam giác ABC.
- Vì K là trung điểm của HM, nên K cũng thuộc tam giác ABC.
- Vì AK là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng HM, nên AK là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng BM.
- Do đó, AK vuông góc với BM tại điểm P.
### c) Tính độ dài cạnh BC
1. **Xét tam giác AHI**:
- Tam giác AHI là tam giác vuông tại H vì AH là đường cao của tam giác ABC.
- Theo định lý Pythagoras, ta có:
\[
AH^2 = AI^2 + HI^2
\]
- Thay các giá trị đã cho vào, ta có:
\[
AH^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34
\]
- Do đó, độ dài đường cao AH là:
\[
AH = \sqrt{34} \text{ cm}
\]
2. **Xét tam giác ABC**:
- Tam giác ABC cân tại A, nên độ dài cạnh BC là:
\[
BC = 2 \times \text{độ dài đường cao AH} = 2 \times \sqrt{34} = 2\sqrt{34} \text{ cm}
\]
Tóm lại, độ dài cạnh BC là \(2\sqrt{34}\) cm.
