Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm giá trị của tham số \( m \) sao cho \( A \cup B = \mathbb{R} \) và \( A \cap B \) chứa đúng 5 số nguyên.
a) Tìm \( m \) để \( A \cup B = \mathbb{R} \):
Ta có \( A = (-\infty, m+1) \) và \( B = [3, +\infty) \).
Để \( A \cup B = \mathbb{R} \), ta cần \( A \) và \( B \) phải bao quát toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \).
Điều kiện này được thỏa mãn khi \( A \) và \( B \) không có khoảng trống nào. Tức là, \( A \) phải bắt đầu từ \( -\infty \) và kết thúc ở \( m+1 \), trong khi \( B \) phải bắt đầu từ 3 và kết thúc ở \( +\infty \).
Do đó, ta có \( m+1 \geq 3 \), tức là \( m \geq 2 \).
b) Tìm \( m \) để \( A \cap B \) chứa đúng 5 số nguyên:
Ta có \( A \cap B = \{ x \in \mathbb{R} \mid -\infty < x < m+1 \text{ và } 3 \leq x < +\infty \} \).
Để \( A \cap B \) chứa đúng 5 số nguyên, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho \( A \cap B \) chứa 5 số nguyên.
Giả sử \( A \cap B = \{ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \} \), ta có:
- \( a_1 \) là số nguyên nhỏ nhất trong \( A \cap B \), nên \( a_1 \geq 3 \).
- \( a_5 \) là số nguyên lớn nhất trong \( A \cap B \), nên \( a_5 \leq m+1 \).
Để \( A \cap B \) chứa đúng 5 số nguyên, ta cần \( m \) thỏa mãn:
\[ m+1 \geq 3 + 4 = 7 \]
Do đó, ta có \( m \geq 6 \).
Tóm lại, giá trị của \( m \) để \( A \cup B = \mathbb{R} \) là \( m \geq 2 \), và giá trị của \( m \) để \( A \cap B \) chứa đúng 5 số nguyên là \( m \geq 6 \).
