MN Trả lời ntn cx đc miễn sao đúng và logic. Làm bao nhiêu phần cx đc!
a) Giả sử tồn tại \(n_0\in Z^+\) sao cho \(\left(3n_0+1\right)\left(5n_0+3\right)=a^2\) (với a là số nguyên dương).
*Nếu \(n_0\) chẵn, ta có \(gcd\left(3n_0+1,5n_0+3\right)=1\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}3n_0+1=x^2\\5n_0+3=y^2\end{matrix}\right.\). Do \(n_0\) chẵn nên x lẻ, suy ra \(3n_0=x^2-1⋮4\Rightarrow n_0⋮4\) \(\Rightarrow5n_0+3=y^2\equiv3\left(mod4\right)\),vô lý.
*Nếu n0 lẻ, đặt \(n_0=2^t.k+1\) (với k lẻ). Ta có:
\(\left(3.2^t.k+4\right)\left(5.2^t.k+8\right)=a^2\left(1\right)\).
Nếu \(t\ge4\), ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3.2^t.k+4⋮4\\5.2^t.k+8⋮8\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2⋮2^5\Rightarrow a⋮2^3\Rightarrow a^2⋮2^6\).
\(\left(1\right)\Rightarrow\left(3.2^{t-2}.k+1\right)\left(5.2^{t-3}.k+1\right).2=\left(\dfrac{a}{4}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a}{4}\right)^2⋮2\Rightarrow\left(\dfrac{a}{4}\right)^2⋮4\). Điều này vô lí do \(3.2^{t-2}.k+1;5.2^{t-3}.k+1\) đều lẻ.
Vậy \(1\le t\le3\).
+)Xét \(k=1\Rightarrow n_0=2k+1\).Ta có: \(\left(6k+4\right)\left(10k+8\right)=a^2\)
\(\Rightarrow\left(3k+2\right)\left(5k+4\right)=\left(\dfrac{a}{2}\right)^2\)
Do k lẻ nên \(gcd\left(3k+2,5k+4\right)=1\), suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}3k+2=x^2\\5k+4=y^2\end{matrix}\right.\)
Do k lẻ nên x,y đều lẻ, suy ra \(x^2\equiv y^2\equiv1\left(mod8\right)\). Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}3k+1⋮8\\5k+3⋮8\end{matrix}\right.\Rightarrow8k+4⋮8\), vô lí.
+)Xét k=2\(\Rightarrow n_0=4k+1\). Ta có: \(\left(12k+4\right)\left(20k+8\right)=a^2\)
\(\Rightarrow\left(3k+1\right)\left(5k+2\right)=\left(\dfrac{a}{4}\right)^2\)
Do k lẻ nên \(gcd\left(3k+1,5k+2\right)=1\), suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}3k+1=x^2\\5k+2=y^2\end{matrix}\right.\).
Do k lẻ nên \(x⋮2\Rightarrow x⋮4\Rightarrow\left(3k+1\right)⋮4\Rightarrow\left(k-1\right)⋮4\Rightarrow k\equiv1\left(mod4\right)\)
\(\Rightarrow5k+2\equiv7\equiv3\left(mod4\right)\), vô lí.
+)Xét k=3\(\Rightarrow n_0=8k+1\). Ta có: \(\left(24k+4\right)\left(40k+8\right)=a^2\)
\(\Rightarrow\left(6k+1\right)\left(10k+2\right)=\left(\dfrac{a}{2}\right)^2\).
Do k lẻ nên \(gcd\left(6k+1,10k+2\right)=1\), suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}6k+1=x^2\\2\left(5k+1\right)=y^2\end{matrix}\right.\).
Do k lẻ nên x lẻ, suy ra \(x^2\equiv1\left(mod4\right)\Rightarrow6k⋮4\), vô lí do k lẻ.
Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có điều mâu thuẫn, suy ra đpcm.
b) Ta có: \(a^2+b^2-c^2=a^2+b^2-\left(\dfrac{3a+4b}{5}\right)^2=\left(\dfrac{4a-3b}{5}\right)^2\)
Vậy ta cần chứng minh \(\left(4a-3b\right)⋮5\). Thật vậy, ta có:
\(\left(3a+4b\right)⋮5\Rightarrow\left(-2a+4b\right)⋮5\Rightarrow\left(a-2b\right)⋮5\Rightarrow\left(4a-3b\right)⋮5\). Vậy ta có đpcm.
c) Ta có: \(\left(a-b\right)^2=a+8b-16\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+8\left(a-b\right)+16=9a\Leftrightarrow\left(a-b+4\right)^2=9a\). Suy ra a là số chính phương.
