Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^0\)
mà \(\widehat{FEC}+\widehat{AEF}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)
=>OA\(\perp\)Ax tại A
Xét (O) có
\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\)(cmt)
nên \(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)
=>Ax//FE
mà OA\(\perp\)Ax
nên OA\(\perp\)FE
Xét tứ giác AFDC có \(\widehat{AFC}=\widehat{ADC}=90^0\)
nên AFDC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{BFD}=\widehat{ACB}\)
Ta có: BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{BFE}+\widehat{BCE}=180^0\)
mà \(\widehat{AFE}+\widehat{BFE}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)
Ta có: \(\widehat{AFE}+\widehat{DFE}+\widehat{BFD}=180^0\)
=>\(\widehat{DFE}+\widehat{C}+\widehat{C}=180^0\)
=>\(\widehat{DFE}=180^0-2\cdot\widehat{ACB}\)
Gọi H là trung điểm của BC
ΔEBC vuông tại E
mà EH là đường trung tuyến
nên EH=HB=HC
=>HE=HC
=>ΔHEC cân tại H
Xét ΔHEC có \(\widehat{EHB}\) là góc ngoài tại đỉnh H
nên \(\widehat{EHB}=\widehat{HEC}+\widehat{HCE}=2\cdot\widehat{C}\)
\(\widehat{DFE}+\widehat{DHE}=180^0-2\cdot\widehat{ACB}+2\cdot\widehat{ACB}=180^0\)
=>DFEH là tứ giác nội tiếp
=>đường tròn ngoại tiếp ΔDFE đi qua trung điểm của BC
