Từ câu d trở đi nhé. ĐKXĐ em tự hiểu.
1.
\(\sqrt{5x-1}=\sqrt{x}+4x-1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5x-1}=a\ge0\\\sqrt{x}=b>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=4x-1\)
Pt trở thành:
\(a=b+a^2-b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)-\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b=0\\a-b=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=b+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{5x+1}=\sqrt{x}\\\sqrt{5x+1}=\sqrt{x}+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x+1=x\left(vn\right)\\5x+1=x+2\sqrt{x}+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(loại\right)\\x=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
2.
\(\sqrt{x^2+5x+3}+\sqrt{x^2+5x-2}=5\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+5x+3}=a\ge0\\\sqrt{x^2+5x-2}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=5\)
Pt trở thành:
\(a+b=a^2-b^2\)
\(\Leftrightarrow a+b=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\left(vn\right)\\a-b=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=b+1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+5x+3}=\sqrt{x^2+5x-2}+1\)
\(\Rightarrow x^2+5x+3=x^2+5x-1+2\sqrt{x^2+5x-2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+5x-2}=2\)
\(\Rightarrow x^2+5x-4=0\Rightarrow x=\dfrac{-5\pm\sqrt{41}}{2}\)
Thay vào pt thấy đều thỏa mãn
Em cần những câu từ bao nhiêu nhỉ? Mấy câu đầu rất dễ mà người ta còn ghi hướng dẫn giải chi tiết sẵn rồi
3.
\(\sqrt{x^2+3x+1}+\sqrt{x^2+4x+1}=x\)
Với \(x\le0\) vế trái dương, vế phải ko dương nên pt vô nghiệm
Xét với \(x>0\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+4x+1}=a>0\\\sqrt{x^2+3x+1}=b>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=x\)
Pt trở thành:
\(a+b=a^2-b^2\)
\(\Leftrightarrow a+b=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow a-b=1\) (do \(a+b>0\) khi \(a;b>0\))
\(\Leftrightarrow a=b+1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+4x+1}=\sqrt{x^2+3x+1}+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x+1=x^2+3x+2+2\sqrt{x^2+3x+1}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2+3x+1}=x-1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\4\left(x^2+3x+1\right)=x^2-2x+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\3x^2+14x+3=0\end{matrix}\right.\)
Pt đã cho vô nghiệm
=========
Bài này có thể làm đơn giản hơn chỉ bằng biện luận:
- Với \(x\le0\) vế phải ko dương, vế trái dương nên pt vô nghiệm
- Với \(x>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+3x+1}+\sqrt{x^2+4x+1}>\sqrt{x^2}+\sqrt{x^2}=2x>x\) nên pt cũng vô nghiệm
Vậy pt đã cho vô nghiệm
4.
\(\sqrt{x^2+2x+3}-\sqrt{x^2+3x}=3-x\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+2x+3}=a>0\\\sqrt{x^2+3x}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=3-x\)
Pt trở thành:
\(a-b=a^2-b^2\)
\(\Leftrightarrow a-b=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b=0\\a+b=1\end{matrix}\right.\)
TH1:
\(a+b=1\Rightarrow\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+3x}=1\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+2x+3}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+2}\ge\sqrt{2}>1\\\sqrt{x^2+3x}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+3x}>1\)
Nên pt vô nghiệm
TH2: \(a-b=0\Rightarrow\sqrt{x^2+2x+3}=\sqrt{x^2+3x}\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+3=x^2+3x\)
\(\Rightarrow x=3\)
5.
\(\sqrt{4x^2+5x-1}-2\sqrt{x^2-x-1}=9x+3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4x^2+5x-1}=a\ge0\\2\sqrt{x^2-x-1}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=9x+3\)
Pt trở thành:
\(a-b=a^2-b^2\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b=0\\a+b=1\end{matrix}\right.\)
TH1:
\(a-b=0\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+5x-1}=2\sqrt{x^2-x-1}\)
\(\Rightarrow4x^2+5x-1=4x^2-4x-4\)
\(\Rightarrow x=-\dfrac{1}{3}\)
Thay vào pt ban đầu ko thỏa mãn (loại)
TH2:
\(a+b=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\a-b=9x+3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2a=9x+4\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{4x^2+5x-1}=9x+4\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9x+4\ge0\\4\left(4x^2+5x-1\right)=\left(9x+4\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-\dfrac{4}{9}\\65x^2+52x+20=0\end{matrix}\right.\)
Pt vô nghiệm
6.
ĐKXĐ: \(x\ge-1\)
\(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+10}=\sqrt{x+2}+\sqrt{x+5}\)
\(\Leftrightarrow2x+11+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+10\right)}=2x+7+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(x+5\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+11x+10}+2=\sqrt{x^2+7x+10}\)
\(\Leftrightarrow x^2+11x+14+4\sqrt{x^2+11x+10}=x^2+7x+10\)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{x^2+11x+10}=-4\left(x+1\right)\)
- Với \(x=-1\) là 1 nghiệm
- Với \(x>-1\) vế trái dương vế phải âm nên pt vô nghiệm
Vậy \(x=-1\) là nghiệm duy nhất
7.
\(\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=x+2\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+3}=a>0\\\sqrt{x+1}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=x+2\)
Pt trở thành:
\(a-b=a^2-b^2\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b=0\\a+b=1\end{matrix}\right.\)
TH1: \(a-b=0\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}=\sqrt{x+1}\)
\(\Rightarrow2x+3=x+1\)
\(\Rightarrow x=-2\) (loại)
TH2: \(a+b=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\a-b=x+2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2a=x+3\Leftrightarrow2\sqrt{2x+3}=x+3\)
\(\Rightarrow4\left(2x+3\right)=x^2+6x+9\)
\(\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-3\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Ở TH2 ngoài cách bình phương cũng có thể biện luận:
\(a+b=1\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=1\)
Do \(x\ge-1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+3}=\sqrt{2\left(x+1\right)+1}\ge1\\\sqrt{x+1}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=-1\)
8.
ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{1}{3}\)
\(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+1}=2x\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3x+1}=a\ge0\\\sqrt{x+1}=b>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=2x\)
Pt trở thành:
\(a-b=a^2-b^2\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b=0\\a+b=1\end{matrix}\right.\)
TH1:
\(a-b=0\Rightarrow\sqrt{3x+1}=\sqrt{x+1}\)
\(\Rightarrow x=0\) (thỏa mãn)
TH2: \(a+b=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\a-b=2x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2a=2x+1\Rightarrow2\sqrt{3x+1}=2x+1\)
\(\Rightarrow4\left(3x+1\right)=4x^2+4x+1\)
\(\Rightarrow4x^2-8x-3=0\Rightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{7}}{2}\) (thỏa mãn)
9.
\(\sqrt{6x+1}-\sqrt{x+2}=5x\)
Câu này chắc em ghi nhầm đề, nó hoàn toàn khác dạng với những câu trước.
Nếu muốn thì ta chỉ có thể biện luận rằng nó vô nghiệm:
ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{1}{6}\)
\(\Leftrightarrow10x=2\sqrt{6x+1}-2\sqrt{x+2}\)
\(\Leftrightarrow\left(6x+1-2\sqrt{6x+1}+1\right)+4x-2+2\sqrt{x+2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{6x+1}-1\right)^2+4x-2+2\sqrt{x+2}=0\)
Với \(x\ge-\dfrac{1}{6}\) ta có:
\(\left(\sqrt{6x+1}-1\right)^2\ge0\)
\(4x-2+2\sqrt{x+2}\ge4.\left(-\dfrac{1}{6}\right)-2+2\sqrt{-\dfrac{1}{6}+2}=\dfrac{\sqrt{66}-8}{3}>0\)
Nên pt đã cho vô nghiệm
10.
ĐKXĐ: \(\dfrac{1}{5}\le x\le5\)
\(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}=\sqrt{5x-1}+\sqrt{5-x}\)
\(\Leftrightarrow4x+4+2\sqrt{\left(x+3\right)\left(3x+1\right)}=4x+4+2\sqrt{\left(5x-1\right)\left(5-x\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+3\right)\left(3x+1\right)}=\sqrt{\left(5x-1\right)\left(5-x\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(3x+1\right)=\left(5x-1\right)\left(5-x\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^2+10x+3=-5x^2+26x-5\)
\(\Leftrightarrow8x^2-16x+8=9\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
11.
ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{1}{3}\)
\(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}=\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x+3}\)
\(\Leftrightarrow4x+4+2\sqrt{\left(x+3\right)\left(3x+1\right)}=4x+4+2\sqrt{\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+3\right)\left(3x+1\right)}=\sqrt{\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(3x+1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^2+10x+3=4x^2+8x+3\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)
12.
\(\sqrt[3]{x+7}+\sqrt[3]{x-1}=2\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{x+7}=a\\\sqrt[3]{x-1}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^3-b^3=8\)
Ta được hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\a^3-b^3=8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a^3-\left(2-a\right)^3=8\)
\(\Leftrightarrow2a^3-6a^2+12a-16=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-2\right)\left(a^2-a+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{x+7}=2\)
\(\Rightarrow x=1\)
13.
\(\sqrt[3]{3x+5}+\sqrt[3]{4-3x}=3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{3x+5}=a\\\sqrt[3]{4-3x}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^3+b^3=9\)
Ta được hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\a^3+b^3=9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a^3+\left(3-a\right)^3=9\)
\(\Leftrightarrow9a^2-27a+18=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt[3]{3x+5}=1\\\sqrt[3]{3x+5}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{4}{3}\\x=1\end{matrix}\right.\)
14.
\(\sqrt[3]{4\left(6x+1\right)}-\sqrt[3]{3x-7}=\sqrt[3]{3x+1}\)
- Với \(x=-\dfrac{1}{3}\) ko phải nghiệm
- Với \(x\ne-\dfrac{1}{3}\) chia 2 vế cho \(\sqrt[3]{3x+1}\) ta được:
\(\sqrt[3]{\dfrac{24x+4}{3x+1}}-\sqrt[3]{\dfrac{3x-7}{3x+1}}=1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{\dfrac{24x+4}{3x+1}}=a\\\sqrt[3]{\dfrac{3x-7}{3x+1}}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{15}a^3-\dfrac{1}{15}b^3=1\)
\(\Leftrightarrow2a^3-b^3=15\)
Ta được hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}a-b=1\\2a^3-b^3=15\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2\left(b+1\right)^3-b^3=15\)
\(\Leftrightarrow b^3+6b^2+6b-13=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(b^2+7b+13\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b=1\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\dfrac{3x-7}{3x+1}}=1\)
\(\Rightarrow3x-7=3x+1\)
Pt đã cho vô nghiệm
