a: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp
b: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{BFE}+\widehat{BCE}=180^0\)
mà \(\widehat{BFE}+\widehat{IFB}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{IFB}=\widehat{ICE}\)
Xét ΔIFB và ΔICE có
\(\widehat{IFB}=\widehat{ICE}\)
\(\widehat{FIB}\) chung
Do đó: ΔIFB~ΔICE
=>\(\dfrac{IF}{IC}=\dfrac{IB}{IE}\)
=>\(IF\cdot IE=IB\cdot IC\)
d: Xét ΔAEB vuông tại E có \(cosBAC=\dfrac{AE}{AB}\)
=>\(\dfrac{AE}{AB}=cos60=\dfrac{1}{2}\)
Xét ΔABC có \(\dfrac{BC}{sinBAC}=2R\)
=>\(BC=2\cdot2\cdot sin60=4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)
Xét ΔAFE và ΔACB có
\(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\left(=\widehat{IFB}\right)\)
\(\widehat{FAE}\) chung
Do đó: ΔAFE~ΔACB
=>\(\dfrac{FE}{CB}=\dfrac{AE}{AB}\)
=>\(\dfrac{FE}{CB}=\dfrac{1}{2}\)
=>\(FE=\dfrac{CB}{2}=\sqrt{3}\left(cm\right)\)
