Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Mon an

Bài 4:

a: ΔOBC cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)BC

Ta có: \(\widehat{OIA}=\widehat{OMA}=\widehat{ONA}=90^0\)

=>O,I,A,M,N cùng thuộc đường tròn đường kính OA

b: Gọi E là trung điểm của OA

=>O,I,A,M,N cùng thuộc (E)

Xét (O) có

AM,AN là các tiếp tuyến

Do đó: AM=AN; AO là phân giác của góc MAN; OA là phân giác của góc MON

Xét (E) có

\(\widehat{MIA}\) là góc nội tiếp chắn cung MA

\(\widehat{MOA}\) là góc nội tiếp chắn cung MA

Do đó: \(\widehat{MIA}=\widehat{MOA}\)(1)

Xét (E) có

\(\widehat{AIN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN

\(\widehat{AON}\) là góc nội tiếp chắn cung AN

Do đó: \(\widehat{AIN}=\widehat{AON}\left(2\right)\)

TA có: OA là phân giác của góc MON

=>\(\widehat{MOA}=\widehat{NOA}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{MIA}=\widehat{NIA}\)

=>IA là phân giác của góc MIN

c: Xét ΔOMA vuông tại M có \(cosMOA=\dfrac{OM}{OA}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(\widehat{MOA}=60^0\)

=>\(\widehat{MON}=120^0\)

Diện tích hình quạt MON là:

\(S_1=\dfrac{\Omega\cdot R^2\cdot120}{360}=\dfrac{\Omega\cdot R^2}{3}\)

\(S_{MOA}=\dfrac{1}{2}\cdot OM\cdot OA\cdot sinMOA=\dfrac{1}{2}\cdot R\cdot2R\cdot sin60=R^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(S_{MONA}=2\cdot R^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=R^2\sqrt{3}\)

Diện tích phần tứ giác AMON ở ngoài (O) là:

\(R^2\sqrt{3}-\Omega\cdot\dfrac{R^2}{3}=R^2\left(\sqrt{3}-\dfrac{\Omega}{3}\right)\)

d: Ta có: AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(4)

ta có: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(5)

Từ (4),(5) suy ra AO là đường trung trực của MN

=>AO\(\perp\)MN tại H và H là trung điểm của MN

Xét ΔOMA vuông tại M có MH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AM^2\)

Xét (O) có

\(\widehat{AMB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây cung MB

\(\widehat{MCB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB

Do đó: \(\widehat{AMB}=\widehat{MCB}\)

Xét ΔAMB và ΔACM có

\(\widehat{AMB}=\widehat{ACM}\)

\(\widehat{MAB}\) chung

Do đó: ΔAMB~ΔACM

=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}\)

=>\(AM^2=AB\cdot AC\)

=>\(AB\cdot AC=AH\cdot AO\)

Xét ΔAHK vuông tại H và ΔAIO vuông tại I có

\(\widehat{HAK}\) chung

Do đó: ΔAHK~ΔAIO

=>\(\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{AK}{AO}\)

=>\(AH\cdot AO=AK\cdot AI=AB\cdot AC\)

\(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{AB+AC}{AB\cdot AC}=\dfrac{AB+AB+BC}{AH\cdot AO}\)

\(=\dfrac{2AB+2BI}{AK\cdot AI}=\dfrac{2\cdot AI}{AK\cdot AI}=\dfrac{2}{AK}\)


Các câu hỏi tương tự
Xuân Thường Đặng
Xem chi tiết
Thảo Thảo
Xem chi tiết
Nguyên
Xem chi tiết
Đỗ Thành Đạt
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
gh
Xem chi tiết
LovE _ Khánh Ly_ LovE
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Trần Thủy Tiên
Xem chi tiết