Lời giải:
a.
Để $(d)$ đi qua điểm $A(-1;3)$ thì:
$y_A=2x_A-m+1$
$\Leftrightarrow 3=2(-1)-m+1$
$\Leftrightarrow 3=-1-m$
$\Leftrightarrow m=-4$
b.
PT hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$:
$\frac{1}{2}x^2=2x-m+1$
$\Leftrightarrow x^2-4x+2m-2=0(*)$
Để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1,x_2$ thì PT $(*)$ phải có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$.
Điều này xảy ra khi: $\Delta' (*)=4-(2m-2)>0$
$\Leftrightarrow 6-2m>0\Leftrightarrow m<3$
Áp dụng định lý Viet:
$x_1+x_2=4$
$x_1x_2=2m-2$
Khi đó:
$x_1x_2(y_1+y_2)+48=0$
$\Leftrightarrow x_1x_2(2x_1-m+1+2x_2-m+1)+48=0$
$\Leftrightarrow x_1x_2[2(x_1+x_2)-2m+2)+48=0$
$\Leftrightarrow (2m-2)(2.4-2m+2)+48=0$
$\Leftrightarrow (2m-2)(10-2m)+48=0$
$\Leftrightarrow (m-1)(5-m)+12=0$
$\Leftrightarrow 5m-m^2-5+m+12=0$
$\Leftrightarrow -m^2+6m-5+12=0$
$\Leftrightarrow -m^2+6m+7=0$
$\Leftrightarrow m^2-6m-7=0$
$\Leftrightarrow (m+1)(m-7)=0$
$\Leftrightarrow m=-1$ hoặc $m=7$
Vì $m< 3$ nên $m=-1$
