a) \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+2=0\) (1)
Thay \(m=-1\) vào phương trình (1), ta được:
\(x^2-2\cdot\left(-1+1\right)\cdot x+\left(-1\right)^2+2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+3=0\)
\(\Leftrightarrow x^2=-3\) (vô lí)
Vậy m=-1 thì phương trình vô nghiệm.
b) \(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(m^2+2\right)=8m-4\)
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì: \(\Delta>0\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{2}\)
Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=m^2+2\end{matrix}\right.\)
Lại có: \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}-\dfrac{10}{3}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\dfrac{10}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\dfrac{10}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2}{x_1x_2}-2=\dfrac{10}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(2m+2\right)^2}{m^2+2}=\dfrac{16}{3}\)
\(\Rightarrow3\left(4m^2+8m+4\right)=16m^2+32\)
\(\Leftrightarrow12m^2+24m+12=16m^2+32\)
\(\Leftrightarrow4m^2-24m+20=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-6m+5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(tmdk\right)\\m=5\left(tmdk\right)\end{matrix}\right.\)
$\text{#}Toru$
