a: Xét (O) có
ΔBFE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó: ΔBFE vuông tại F
=>BF\(\perp\)FE
mà BF\(\perp\)AC
nên FE//AC
=>\(\widehat{EFA}+\widehat{FAC}=180^0\)
mà \(\widehat{EFA}+\widehat{ECA}=180^0\)(EFAC nội tiếp)
nên \(\widehat{FAC}=\widehat{ECA}\)
Xét tứ giác AFEC có FE//AC và \(\widehat{FAC}=\widehat{ECA}\)
nên AFEC là hình thang cân
b: Xét ΔCAB có
AD,BK là các đường cao
AD cắt BK tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔCAB
=>CH\(\perp\)AB
Xét (O) có
ΔBAE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó:ΔBAE vuông tại A
=>BA\(\perp\)AE
mà CH\(\perp\)BA
nên CH//AE
Xét (O) có
ΔBCE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó: ΔBCE vuông tại C
=>BC\(\perp\)CE
mà AH\(\perp\)BC
nên AH//CE
Xét tứ giác AHCE có
AH//CE
HC//AE
Do đó: AHCE là hình bình hành
=>AC cắt HE tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm của EH
Xét ΔEBH có
I,O lần lượt là trung điểm của EI,EB
=>IO là đường trung bình của ΔEBH
=>IO//BH và IO=BH/2
=>BH=2OI
Xét (O) có
\(\widehat{BFA}\) là góc nội tiếp chắn cung BA
\(\widehat{BCA}\) là góc nội tiếp chắn cung BA
Do đó: \(\widehat{BFA}=\widehat{BCA}\)
mà \(\widehat{BCA}=\widehat{AHF}\left(=90^0-\widehat{HAC}\right)\)
nên \(\widehat{AHF}=\widehat{AFH}\)
=>ΔAHF cân tại A
Ta có: ΔAHF cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là đường trung trực của HF
=>H đối xứng F qua AC
