a:
Diện tích hình quạt tròn AOC là:
\(S_{q\left(AOC\right)}=\Omega\cdot R^2\cdot\dfrac{90}{360}=\Omega\cdot\dfrac{R^2}{4}\)
Diện tích tam giác AOC là:
\(S_{AOC}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OC=\dfrac{1}{2}R^2\)
Diện tích hình viên phân tạo bởi dây AC và cung AC là:
\(S_{vp\left(AOC\right)}=\Omega\cdot\dfrac{R^2}{4}-\dfrac{1}{2}R^2\)
b: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM\(\perp\)MB tại M
Xét tứ giác OIMB có \(\widehat{IMB}+\widehat{IOB}=90^0+90^0=180^0\)
nên OIMB là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có
\(\widehat{SMA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MS và dây cung MA
\(\widehat{MBA}\) là góc nội tiếp chắn cung MA
Do đó: \(\widehat{SMA}=\widehat{MBA}\)
mà \(\widehat{MBA}=\widehat{AIO}\left(=90^0-\widehat{IAO}\right)\)
nên \(\widehat{SMA}=\widehat{AIO}\)
mà \(\widehat{AIO}=\widehat{SIM}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{SMI}=\widehat{SIM}\)
=>SM=SI
c: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Xét ΔACB vuông tại C có CO là đường cao
nên \(AO\cdot AB=AC^2\)(1)
Xét ΔAOI vuông tại O và ΔAMB vuông tại M có
\(\widehat{OAI}\) chung
Do đó: ΔAOI~ΔAMB
=>\(\dfrac{AO}{AM}=\dfrac{AI}{AB}\)
=>\(AO\cdot AB=AM\cdot AI\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AI\cdot AM=AC^2\)
=>\(\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AC}{AM}\)
Xét ΔAIC và ΔACM có
\(\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AC}{AM}\)
\(\widehat{IAC}\) chung
Do đó: ΔAIC~ΔACM
=>\(\widehat{ACI}=\widehat{AMC}\)
=> AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔCIM
