a: Xét ΔABC có
K,P lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>KP là đường trung bình của ΔABC
b: Xét ΔABC có
Q,P lần lượt là trung điểm của CB,CA
=>QP là đường trung bình của ΔABC
=>QP//AB và \(QP=\dfrac{AB}{2}\)
Ta có: QP//AB
K\(\in\)AB
Do đó: QP//AK và QP//BK
Ta có: QP=AB/2
\(AK=KB=\dfrac{AB}{2}\)
Do đó: QP=AK=KB
Xét tứ giác AKQP có
AK//QP
AK=QP
Do đó: AKQP là hình bình hành
=>AQ cắt KP tại trung điểm của mỗi đường
=>S là trung điểm chung của AQ và KP
d: Ta có: KP//BC
H,Q\(\in\)BC
Do đó: KP//HQ
Ta có: ΔAHC vuông tại H
mà HP là đường trung tuyến
nên \(HP=AP\)
mà AP=KQ(AKQP là hình bình hành)
nên HP=KQ
Xét tứ giác HQPK có HQ//PK
nên HQPK là hình thang
Hình thang HQPK có HP=KQ
nên HQPK là hình bình hành
=>HK=PQ
Xét ΔHKP và ΔQPK có
HP=QP
KP chung
HP=QK
Do đó: ΔHKP=ΔQPK
=>\(\widehat{HPK}=\widehat{QKP}\)
=>\(\widehat{IKP}=\widehat{IPK}\)
=>ΔIPK cân tại I
ta có: ΔIPK cân tại I
mà IS là đường trung tuyến
nên IS\(\perp\)KP
ta có:IS\(\perp\)KP
KP//BC
Do đó: IS\(\perp\)BC
mà BC\(\perp\)AH
nên AH//SI
