a: Xét tứ giác AMON có \(\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=90^0+90^0=180^0\)
nên AMON là tứ giác nội tiếp
b: Gọi giao điểm của MN và AO là H
Xét (O) có
AM,AN là các tiếp tuyến
Do đó: AM=AN
=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)
Ta có:OM=ON
=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của MN
=>OA\(\perp\)MN tại H
Ta có: ΔOBC cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI\(\perp\)BC
Xét ΔAHK vuông tại H và ΔAIO vuông tại I có
\(\widehat{HAK}\) chung
Do đó: ΔAHK~ΔAIO
=>\(\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{AK}{AO}\)
=>\(AH\cdot AO=AK\cdot AI\left(3\right)\)
Xét ΔAMO vuông tại M có MH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AM^2\left(4\right)\)
Xét (O) có
\(\widehat{AMB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây cung MB
\(\widehat{MCB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB
Do đó: \(\widehat{AMB}=\widehat{MCB}\)
Xét ΔAMB và ΔACM có
\(\widehat{AMB}=\widehat{ACM}\)
\(\widehat{MAB}\) chung
Do đó: ΔAMB~ΔACM
=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}\)
=>\(AM^2=AB\cdot AC\left(5\right)\)
Từ (3),(4),(5) suy ra \(AK\cdot AI=AB\cdot AC\)
