a: Kẻ AI là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A(I\(\in\)DE)
Xét (O) có
ID,IA là các tiếp tuyến
Do đó: ID=IA và OI là phân giác của góc AOD và IO là phân giác của góc DIA
Xét (O') có
IA,IE là các tiếp tuyến
Do đó: IA=IE và O'I; IO' lần lượt là phân giác của các góc AO'E và AIE
Ta có: IA=IE
ID=IA
Do đó: IE=ID
=>I là trung điểm của ED
Xét ΔADE có
AI là đường trung tuyến
\(AI=\dfrac{DE}{2}\)
Do đó: ΔADE vuông tại A
=>\(\widehat{DAE}=90^0\)
b: Xét (O) có
ΔADB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔADB vuông tại D
=>AD\(\perp\)DB tại D
=>AD\(\perp\)MB tại D
Xét (O') có
ΔAEC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔAEC vuông tại E
=>AE\(\perp\)EC tại E
=>AE\(\perp\)MC tại E
Xét tứ giác MDAE có
\(\widehat{MDA}=\widehat{MEA}=\widehat{DAE}=90^0\)
=>MDAE là hình chữ nhật
c: Ta có: MDAE là hình chữ nhật
=>MA cắt DE tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của DE
nên I là trung điểm của MA
=>MA\(\perp\)BC tại A
=>MA là tiếp tuyến chung của (O) và (O')
d: Ta có: MDAE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{MDE}=\widehat{MAE}\)
mà \(\widehat{MAE}=\widehat{MCB}\left(=90^0-\widehat{EAC}\right)\)
nên \(\widehat{MDE}=\widehat{MCB}\)
Xét ΔMDE và ΔMCB có
\(\widehat{MDE}=\widehat{MCB}\)
\(\widehat{M}\) chung
Do đó: ΔMDE~ΔMCB
=>\(\dfrac{MD}{MC}=\dfrac{ME}{MB}\)
=>\(MD\cdot MB=ME\cdot MC\)
