a: Ta có: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên AM=MB=MC
Xét ΔMAO và ΔMBO có
MA=MB
AO=BO
MO chung
Do đó: ΔMAO=ΔMBO
=>\(\widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0\)
Xét ΔMCI và ΔMAI có
MC=MA
CI=AI
MI chung
Do đó: ΔMCI=ΔMAI
=>\(\widehat{MCI}=\widehat{MAI}=90^0\)
Ta có: \(\widehat{MAO}+\widehat{MAI}=\widehat{IAO}\)
=>\(\widehat{IAO}=90^0+90^0=180^0\)
=>I,A,O thẳng hàng
=>OA+AI=OI
=>(O) và (I) tiếp xúc với nhau tại A
b: Xét (O) có
OA là bán kính
MA\(\perp\)AO tại A
Do đó: MA là tiếp tuyến của (O)
Xét (I) có
IA là bán kính
IA\(\perp\)MA tại A
Do đó: MA là tiếp tuyến của (I)
c: Ta có: ΔMAO=ΔMBO
=>\(\widehat{AMO}=\widehat{BMO}\)
mà tia MO nằm giữa hai tia MA,MB
nên MO là phân giác của góc AMB
=>\(\widehat{AMB}=2\cdot\widehat{AMO}\)
Ta có: ΔMAI=ΔMCI
=>\(\widehat{AMI}=\widehat{CMI}\)
mà tia MI nằm giữa hai tia MA,MC
nên MI là phân giác của góc AMC
=>\(\widehat{AMC}=2\cdot\widehat{AMI}\)
Ta có: \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\left(\widehat{AMI}+\widehat{AMO}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{IMO}=180^0\)
=>\(\widehat{IMO}=90^0\)
=>ΔIMO vuông tại M
d: Gọi H là trung điểm của IO
ΔIMO vuông tại M
mà MH là đường trung tuyến
nên HM=HI=HO
=>H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔOMI
Xét hình thang BOIC có
H,M lần lượt là trung điểm của OI,BC
=>HM là đường trung bình của hình thang BOIC
=>HM//CI//OB
Ta có: HM//CI
CI\(\perp\)CB
Do đó: HM\(\perp\)CB
Xét (H) có
HM là bán kính
CB\(\perp\)HM tại M
Do đó: CB là tiếp tuyến của (H)
=>CB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔOMI
