Bài 9. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:
\(\Delta'=b'^2-ac>0\Leftrightarrow\left(-m\right)^2-1\left(2m-10\right)>0\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+10>0\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+9>0\left(LĐ\right)\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)
Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m\left(1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-10\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Theo đề: \(2x_1+x_2=-4\Leftrightarrow x_1+\left(x_1+x_2\right)=-4\)
\(\Leftrightarrow x_1=-4-2m\left(3\right)\)
Thay (3) vào (1) và (2): \(\left\{{}\begin{matrix}-4-2m+x_2=2m\\\left(-4-2m\right)x_2=2m-10\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=4m+4\\x_2=\dfrac{2m-10}{-4-2m}\end{matrix}\right.\)
Suy ra: \(4m+4=\dfrac{10-2m}{2m+4}\Leftrightarrow4m+4=\dfrac{5-m}{m+2}\)
\(\Leftrightarrow4m^2+13m+3=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{1}{4}\\m=-3\end{matrix}\right.\).
Vậy: \(m\in\left\{-3;-\dfrac{1}{4}\right\}\)
Bài 10. Phương trình có hai nghiệm khi:
\(\Delta'=b'^2-ac>0\Leftrightarrow\left[-\left(m-1\right)\right]^2-m>0\)
\(\Leftrightarrow m^2-3m+1>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\\m>\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)
Theo đề, \(x_1=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_2=m\end{matrix}\right.\Rightarrow x_2=3\)
Vậy: Nghiệm còn lại của phương trình là \(x_2=3.\)
