Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quang Bảo Lương
Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 1 2024 lúc 21:57

\(y+z=-x\Rightarrow\left(y+z\right)^3=-x^3\)

\(\Rightarrow y^3+z^3+3yz\left(y+z\right)=-x^3\)

\(\Rightarrow P=x^3+y^3+z^3=3xyz\)

- Nếu trong 3 số có 1 số bằng 0 thì \(P=0>-6\) (thỏa mãn)

- Nếu cả 3 số đều khác 0:

Do \(x+y+z=0\) nên trong 3 số phải có ít nhất 1 số âm và 1 số dương

Vai trò 3 biến như nhau, ko mất tính tổng quát giả sử \(x\le y\le z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z>0\\x< 0\end{matrix}\right.\)

+ Nếu \(y< 0\Rightarrow xyz>0>-6\) (thỏa mãn)

+ Nếu \(y>0\), BĐT cần c/m tương đương: \(\left(-x\right).yz\le2\) với \(0< \left(-x\right)\le2\)

AM-GM: \(\left(-x\right).yz\le\dfrac{1}{4}.\left(-x\right).\left(y+z\right)^2=\dfrac{1}{4}.\left(-x\right)^3\le\dfrac{1}{4}.2^3=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(x;y;z\right)=\left(-2;1;1\right)\) và các hoán vị


Các câu hỏi tương tự
Xuân Thường Đặng
Xem chi tiết
Thảo Thảo
Xem chi tiết
Nguyên
Xem chi tiết
Đỗ Thành Đạt
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
gh
Xem chi tiết
LovE _ Khánh Ly_ LovE
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Trần Thủy Tiên
Xem chi tiết