\(y+z=-x\Rightarrow\left(y+z\right)^3=-x^3\)
\(\Rightarrow y^3+z^3+3yz\left(y+z\right)=-x^3\)
\(\Rightarrow P=x^3+y^3+z^3=3xyz\)
- Nếu trong 3 số có 1 số bằng 0 thì \(P=0>-6\) (thỏa mãn)
- Nếu cả 3 số đều khác 0:
Do \(x+y+z=0\) nên trong 3 số phải có ít nhất 1 số âm và 1 số dương
Vai trò 3 biến như nhau, ko mất tính tổng quát giả sử \(x\le y\le z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z>0\\x< 0\end{matrix}\right.\)
+ Nếu \(y< 0\Rightarrow xyz>0>-6\) (thỏa mãn)
+ Nếu \(y>0\), BĐT cần c/m tương đương: \(\left(-x\right).yz\le2\) với \(0< \left(-x\right)\le2\)
AM-GM: \(\left(-x\right).yz\le\dfrac{1}{4}.\left(-x\right).\left(y+z\right)^2=\dfrac{1}{4}.\left(-x\right)^3\le\dfrac{1}{4}.2^3=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra tại \(\left(x;y;z\right)=\left(-2;1;1\right)\) và các hoán vị
