Question

Answer 1

Ta chứng minh BĐT mạnh hơn là \(2x+2y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge6\)

\(\Leftrightarrow2xy\left(x+y\right)+x+y\ge6xy\) (1)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a>0\\xy=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2-2b=2\Rightarrow2b=a^2-2\)

Đồng thời \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x+y\right)^2=4\Rightarrow x+y\le2\Rightarrow a\le2\)

(1) trở thành:

\(2ab+a\ge6b\Leftrightarrow a\left(a^2-2\right)+a\ge3\left(a^2-2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3-3a^2-a+6\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2-a\right)\left(3+a-a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2-a\right)\left[1+\left(2-a\right)\left(a+1\right)\right]\ge0\) (luôn đúng với \(0< a\le2\))