a: Xét (O) có
\(\widehat{CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB
\(\widehat{NBC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BN và dây cung BC
Do đó: \(\widehat{CAB}=\widehat{NBC}\)
Xét tứ giác AMCI có
\(\widehat{MAI}+\widehat{MCI}=90^0+90^0=180^0\)
=>AMCI là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{M}+\widehat{AIC}=180^0\)(1)
Xét tứ giác ABNM có
\(\widehat{ABN}+\widehat{BAM}+\widehat{M}+\widehat{N}=360^0\)
=>\(\widehat{M}+\widehat{N}=360^0-90^0-90^0=180^0\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AIC}=\widehat{N}\)
Xét ΔCAI và ΔCBN có
\(\widehat{CAI}=\widehat{CBN}\)
\(\widehat{CIA}=\widehat{CNB}\)
Do đó: ΔCAI đồng dạng với ΔCBN
b: Xét tứ giác ICNB có \(\widehat{ICN}+\widehat{IBN}=180^0\)
nên ICNB là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{INC}=\widehat{IBC}=\widehat{ABC}\)
Xét ΔABC và ΔINC có
\(\widehat{ABC}=\widehat{INC}\)
\(\widehat{ACB}=\widehat{ICN}\left(=90^0\right)\)
Do đó: ΔABC đồng dạng với ΔINC
c: Ta có: AMCI là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{MIC}=\widehat{MAC}\)
Ta có: ICNB là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{NIC}=\widehat{NBC}\)
Xét (O) có
ΔCAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔCAB vuông tại C
=>\(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)
Ta có: \(\widehat{MAB}+\widehat{NBA}=90^0+90^0=180^0\)
=>\(\widehat{MAC}+\widehat{CAB}+\widehat{CBA}+\widehat{NBC}=180^0\)
=>\(\widehat{MAC}+\widehat{NBC}=90^0\)
=>\(\widehat{MIC}+\widehat{NIC}=90^0\)
=>\(\widehat{MIN}=90^0\)
