1: (d1): \(y=\left(m^2-1\right)x+2\left(1\right)\)
(d2): y=x+2(2)
Để (1) là hàm số bậc nhất một ẩn thì \(m^2-1\ne0\)
=>\(m^2\ne1\)
=>\(m\notin\left\{1;-1\right\}\)
2:
(d2): y=x+2
=>x-y+2=0
Khoảng cách từ O đến (d2) là:
\(d\left(O;\left(d2\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot1+0\cdot\left(-1\right)+2\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
3:
Gọi A,B,C lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2), (d1) với trục Ox, (d2) với trục Ox
Tọa độ A là:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-1\right)x+2=x+2\\y=x+2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-2\right)x=0\\y=x+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\end{matrix}\right.\)
Tọa độ B là:
\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(m^2-1\right)x+2=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(m^2-1\right)x=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{2}{m^2-1}\\y=0\end{matrix}\right.\)
Tọa độ C là:
\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy: A(0;2); \(B\left(-\dfrac{2}{m^2-1};0\right);C\left(0;-2\right)\)
Vì A(0;2) thuộc trục Oy nên (d1) với (d2) cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung
\(AC=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(-2-2\right)^2}=4\)
\(AB=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{m^2-1}-0\right)^2+\left(0-2\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{2}{m^2-1}\right)^2+4}\)
\(BC=\sqrt{\left(0+\dfrac{2}{m^2-1}\right)^2+\left(-2-0\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{2}{m^2-1}\right)^2+4}\)
Để ΔABC vuông cân thì AB=BC và \(AC^2=AB^2+BC^2\)
=>\(2\left(\dfrac{2}{m^2-1}\right)^2+4\cdot2=4^2=16\)
=>\(2\left(\dfrac{2}{m^2-1}\right)^2=8\)
=>\(\dfrac{8}{\left(m^2-1\right)^2}=8\)
=>\(\left(m^2-1\right)^2=1\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}m^2-1=1\\m^2-1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2=2\\m^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
