1: Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của BA,AC
P là trung điểm của AB
=>P là tâm của đường tròn đường kính AB
Q là trung điểm của AC
=>Q là tâm của đường tròn đường kính AC
Xét (P) có
ΔMAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔMAB vuông tại M
=>MB\(\perp\)MA
=>MB\(\perp\)MN
Xét (Q) có
ΔANC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔNAC vuông tại N
=>NA\(\perp\)NC
=>NC\(\perp\)NM
mà MB\(\perp\)NM
nên MB//NC
Xét tứ giác BMNC có
BM//NC
\(\widehat{BMN}=90^0\)
Do đó: BMNC là hình thang vuông
2: Gọi H là trung điểm của MN
Xét hình thang BMNC có
H,I lần lượt là trung điểm của MN,BC
=>HI là đường trung bình
=>HI//CN//MB
=>HI\(\perp\)NM
Xét ΔIMN có
IH là đường cao
IH là đường trung tuyến
Do đó: ΔIMN cân tại I
=>IM=IN
3:Gọi chu vi tứ giác BMNC là P
=>P=BC+BM+MN+CN
=BC+(MA+MB)+(NA+NC)
\(MA+MB< =\sqrt{2\left(MA^2+MB^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow MA+MB< =\sqrt{2AB^2}=AB\sqrt{2}\)
\(NA+NC< =\sqrt{2\left(NA^2+NC^2\right)}=\sqrt{2AC^2}+AC\sqrt{2}\)
=>\(P< =BC+\sqrt{2}\left(AB+AC\right)\)
Dấu = xảy ra khi MA=MB và NA=NC
=>\(\widehat{MAB}=\widehat{NAC}=45^0\)
vậy: Khi d tạo với tia AB và tia AC các góc 45 độ thì chu vi tứ giác BMNC lớn nhất
