Bài 1:
ĐKXĐ:............
Đặt $\sqrt{x-2}=t(t>0)$ thì:
\(A=\frac{\sqrt{t^2+1-2t}+\sqrt{t^2+1+2t}}{\sqrt{(x-4)^2}}(1-\frac{2}{t^2})\)
\(=\frac{\sqrt{(t-1)^2+\sqrt{(t+1)^2}}}{\sqrt{(t^2-2)^2}}.\frac{t^2-2}{t^2}=\frac{|t-1|+|t+1|}{|t^2-2|}.\frac{t^2-2}{t^2}\)
Nếu $t\geq 1$ thì: $A=\frac{t-1+t+1}{t^2}.\frac{t^2-2}{|t^2-2|}$
$=\frac{2t}{t^2}.\frac{t^2-2}{|t^2-2|}=\frac{2}{t}.\frac{t^2-2}{|t^2-2|}$
Vì $\frac{t^2-2}{|t^2-2|}=\pm 1$ nên để $A$ nguyên thì $\frac{2}{t}=\frac{2}{\sqrt{x-2}}$ nguyên.
Với $x$ nguyên và $\sqrt{x-2}\geq 1$ thì điều này xảy ra khi $\sqrt{x-2}\in \left\{1; 2\right\}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-2}\in \left\{1;2\right\}$
$\Leftrightarrow x\in\left\{3; 6\right\}$
Nếu $0< t< 1\Leftrightarrow 0< \sqrt{x-2}< 1$
$\Leftrightarrow 2< x< 3$. Vì $x$ nguyên nên không tồn tại $x$ thỏa mãn.
Vậy $x=3$ hoặc $x=6$.
Bài 2:
\(P=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1-3\)
$=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{b+c+a}{c+a}+\frac{c+a+b}{a+b}-3$
$=(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})-3$
$=2025.\frac{2024}{2025}-3=2024-3=2021$
