1: BH+HC=BC
=>HC+3,6=10
=>HC=6,4(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
=>\(AH=\sqrt{3.6\cdot6.4}=4.8\left(cm\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{3,6\cdot10}=6\left(cm\right)\\AC=\sqrt{6.4\cdot10}=8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
2:
ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
=>\(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)
Xét ΔADE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)
Do đó: ΔADE đồng dạng với ΔACB
3:
a: \(AB\cdot cosB+AC\cdot cosC\)
\(=AB\cdot\dfrac{AB}{BC}+AC\cdot\dfrac{AC}{BC}\)
\(=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC}=\dfrac{BC^2}{BC}=BC\)
b:
\(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot AE}{\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{AD}{AB}\cdot\dfrac{AE}{AC}\)
\(=\dfrac{AH^2}{AB^2}\cdot\dfrac{AH^2}{AC^2}\)
\(=sin^2B\cdot sin^2C\)
=>\(S_{ADE}=S_{ABC}\cdot sin^2B\cdot sin^2C\)
