a: ΔABD vuông tại A
=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)
=>\(BD^2=15^2+20^2=625\)
=>BD=25(cm)
Xét ΔABD vuông tại A có AO là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}BO\cdot BD=BA^2\\DO\cdot DB=DA^2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}BO\cdot25=15^2=225\\DO\cdot25=20^2=400\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BO=9\left(cm\right)\\DO=16\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
b: Xét ΔABD vuông tại A có AO là đường cao
nên \(AO\cdot BD=AB\cdot AD\)
=>\(AO\cdot25=15\cdot20=300\)
=>AO=12(cm)
Xét ΔADC vuông tại D có DO là đường cao
nên \(AO\cdot AC=AD^2\)
=>\(AC\cdot12=20^2=400\)
=>\(AC=\dfrac{400}{12}=\dfrac{100}{3}\left(cm\right)\)
c: Vì hình thang ABCD có AC\(\perp\)BD
nên \(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{100}{3}\cdot25=\dfrac{50}{3}\cdot25=\dfrac{1250}{3}\left(cm^2\right)\)