1: \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{1}{x-4}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)+\sqrt{x}+2+1}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{x-\sqrt{x}+3}{x-4}\)
2: Đặt \(\sqrt{x}=a\)
=>\(a=x^2\)
=>\(P=\frac{a^2-a+3}{a^2-4}=\frac{a^2-a+\frac14+\frac{11}{4}}{a^2-4}=\frac{\left(a-\frac12\right)^2+\frac{11}{4}}{a^2-4}\)
TH1: 0<=x<4
=>0<=a<2
=>\(a^2-4<0\)
=>P=dương/âm=âm
TH2: x>4
=>\(\sqrt{x}>2\)
=>a>2
=>\(a^2>4\)
=>\(a^2-4>0\)
=>P=dương/dương=dương
Để P nhỏ nhất P phải có giá trị âm, tức là rơi vào trường hợp 1, tức 0<=a<2
\(P=\frac{a^2-a+3}{a^2-4}\)
Đặt P=k
=>\(k\left(a^2-4\right)=a^2-a+3\)
=>\(a^2\cdot k-4k-a^2+a-3=0\)
=>\(a^2\left(k-1\right)+a-4k-3=0\) (1)
TH1: k-1=0
=>k=1
(1) sẽ trở thành: a-4-3=0
=>a=7(loại)
TH2: k-1<>0
\(\Delta=1^2-4\cdot\left(k-1\right)\left(-4k-3\right)\)
\(=1+\left(4k-4\right)\left(4k+3\right)=1+16k^2+12k-16k-12\)
\(=16k^2-4k-11=16\left(k^2-\frac14k-\frac{11}{16}\right)\)
\(=16\left(k^2-2\cdot k\cdot\frac18+\frac{1}{64}-\frac{45}{64}\right)=16\left(k-\frac18\right)^2-\frac{45}{4}\)
Để (1) có nghiệm thì Δ>=0
=>\(16\left(k-\frac18\right)^2-\frac{45}{4}\ge0\)
=>\(\left(k-\frac18\right)^2\ge\frac{45}{64}\)
=>\(\left[\begin{array}{l}k-\frac18\ge\frac{3\sqrt5}{8}\\ k-\frac18\le\frac{-3\sqrt5}{8}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}k\ge\frac{3\sqrt5+1}{8}\\ k\le\frac{-3\sqrt5+1}{8}\end{array}\right.\)
=>Giá trị k nhỏ nhất để (1) có nghiệm là \(k=\frac{1-3\sqrt5}{8}\)
=>(1) có nghiệm kép là \(a=\frac{-1}{2\left(k-1\right)}=\frac{-1}{2k-2}=\frac{-1}{2\cdot\frac{1-3\sqrt5}{8}-2}=\frac{-1}{\frac{1-3\sqrt5}{4}-2}=\frac{-1}{\frac{1-3\sqrt5-8}{4}}\)
\(=\frac{-1}{\frac{-7-3\sqrt5}{4}}=-1:\frac{-7-3\sqrt5}{4}=\frac{4}{7+3\sqrt5}=\frac{4\left(7-3\sqrt5\right)}{49-45}\)
\(=7-3\sqrt5\)
Ta có: 25<45
=>\(\sqrt{25}<\sqrt{45}\)
=>\(5<3\sqrt5\)
=>\(5+2<3\sqrt5+2\)
=>\(7<3\sqrt5+2\)
=>\(0<7-3\sqrt5<2\)
=>Giá trị \(a=7-3\sqrt5\) thỏa mãn yêu cầu 0<=a<2
=>\(x=a^2=\left(7-3\sqrt5\right)^2=49-2\cdot7\cdot3\sqrt5+45=94-42\sqrt5\)
Vậy: \(P_{\min}=\frac{1-3\sqrt5}{8}\) khi \(x=94-42\sqrt5\)
