a) \(sin^2B+sin^2C+2.tanB.tanC\)
\(=sin^2B+cos^2C+2.tanB.cotB\)
\(=1+2.1=3\)
a: sin^2B+sin^2C+2*tanB*tan C
=sin^2B+cos^2B+2*tanB*cotB
=1+2=3
b: ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao
nên AE*EB=HE^2
ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao
nên AF*FC=HF^2
góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ
=>AEHF là hình chữ nhật
AE*EB+AF*FC
=HE^2+HF^2
=EF^2=AH^2
=BH*HC
c: ΔACK vuông tại C có CH là đường cao
nên AH*HK=CH^2
=>AH*HK=CF*CA
b) Xét tứ giác AEHF, có: HEA=AFH=BAC=90 độ
=> AEHF là hình chữ nhật => EH=AF; AE=FH
\(\Delta AHB\) vuông tại H nên ta có: \(AE.EB=EH^2\left(1\right)\)
Tương tự với tam giác AHC vuông tại H ta có: \(AF.FC=FH^2\left(2\right)\)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: VT=\(EH^2+FH^2=EH^2+AE^2=AH^2\) (đli pytago trong tam giác AEH vuông tại E.
Lại có: tam giác ABC vuông tại A=> \(AH^2=BH.BC\)
Từ đó suy ra \(AE.EB+AF.FC=BH.HC\) (đpcm)
c) Tam giác ACK vuông tại C nên ta có: \(AH.HK=HC^2\left(1\right)\)
Tam giác AHC vuông tại H nên ta có: \(CF.AC=HC^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(AH.HK=CF.AC\) (đpcm)
d) Ta có: \(S_{AFHE}=EH.HF\)
Tam giác BEH vuông tại E, có: \(EH\le BH\left(cgv\le ch\right)\)
HFC vuông tại F, có: \(FH\le HC\left(ch\le cgv\right)\)
=> \(S_{AFHE}\le BH.HC=AH^2\)
Áp dụng BDT AM-GM, ta có:
\(S_{AFHE}\le BH.HC=AH^2\le\dfrac{\left(BH+HC\right)^2}{4}=\dfrac{BC^2}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> BH=HC=>H là Trung điểm của =>AH là trung tuyến của tam giác ABC
Mà AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A=> tam giác ABC vuông cân tại A
Vậy, max \(S_{AFHE}=\dfrac{BC^2}{4}\Leftrightarrow\) H là trung điểm của BC và tam giác ABC vuông cân tại A
