\(y^3+3xy\left(x+y\right)=6x^2+6x+14\left(\cdot\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3=x^3+6x^2+6x+14\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3=x^3+6x^2+12x+8-6\left(x-1\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3=\left(x+2\right)^3-6\left(x-1\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+2\right)^3-\left(x+y\right)^3=6\left(x-1\right)\)
Vì x là số tự nhiên nên \(x\ge0\)
Với \(x=0\). Thay vào (*) ta được:
\(y^3=14\left(loại\right)\)
Với \(x\ge1\Rightarrow6\left(x-1\right)\ge0\). Do đó:
\(\left(x+2\right)^3-\left(x+y\right)^3\ge0\Rightarrow\left(x+2\right)^3\ge\left(x+y\right)^3\)
\(\Rightarrow x+2\ge x+y\) (vì \(x,y\ge0\)) \(\Rightarrow y\le2\)
*Với \(y=0\). Thay vào (*) ta được:
\(6x^2+6x+14=0\).
Giải phương trình trên ta thấy phương trình vô nghiệm (loại).
*Với \(y=1\). Thay vào (*) ta được:
\(1+3x\left(x+1\right)=6x^2+6x+14\)
\(\Leftrightarrow3x^2+3x+13=0\).
Giải phương trình trên ta thấy phương trình vô nghiệm (loại).
*Với \(y=2\). Thay vào (*) ta được:
\(8+6x\left(x+2\right)=6x^2+6x+14\)
\(\Leftrightarrow6x-6=0\Leftrightarrow x=1\)
Vậy \(x=1;y=2\)
