- Với \(n=0\) thỏa mãn
- Với \(n>0\)
\(n^3+3n^2+n+3=\left(n^2+1\right)\left(n+3\right)=p^k\) với p nguyên tố và \(k\ge1\)
Gọi \(d=ƯC\left(n^2+1;n+3\right)\Rightarrow n\left(n+3\right)-\left(n^2+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow3n-1⋮d\Rightarrow3\left(n+3\right)-\left(3n-1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow10⋮d\Rightarrow d=\left\{1;2;5;10\right\}\) (loại 10 do khi đó \(p^k\) có 2 ước nguyên tố khác nhau)
TH1: \(d=1\Rightarrow p^k\) có ít nhất 2 ước nguyên tố (ktm)
TH2: \(d=2\Rightarrow p^k⋮2\Rightarrow p=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2+1=2^a\\n+3=2^b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(2^b-3\right)^2+1=2^a\) với \(a\ge1;b\ge2\)
\(\Rightarrow2^{2b}-6.2^b+10=2^a\)
\(\Rightarrow2^{2b-1}-3.2^b+5=2^{a-1}\)
Nếu \(a>1\Rightarrow\) vế trái lẻ vế phải chẵn (vô lý) \(\Rightarrow a=1\)
\(\Rightarrow n=1\Rightarrow N=8=2^3\) thỏa mãn
TH3: \(d=5\Rightarrow p=5\Rightarrow\left(n^2+1\right)\left(n+3\right)=5^k\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2+1=5^a\\n+3=5^b\end{matrix}\right.\) với \(a;b\ge1\)
\(\Rightarrow\left(5^b-3\right)^2+1=5^a\)
\(\Rightarrow5^{2b}-6.5^b+10=5^a\)
\(\Rightarrow5^{2b-1}-6.5^{b-1}+2=5^{a-1}\)
Nếu a;b đều lớn hơn 1 \(\Rightarrow\) vế trái ko chia hết cho 5, vế phải chia hết cho 5 (vô lý)
\(\Rightarrow\) Phải có ít nhất a hoặc b bằng 1
- Nếu \(a=1\Rightarrow n^2+1=5\Rightarrow n=2\)
\(\Rightarrow N=25=5^2\) (thỏa mãn)
- Nếu \(b=1\Rightarrow n+3=5\Rightarrow n=2\) như trên
Vậy \(n=\left\{0;1;2\right\}\)
