Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nguyễn thị hải yến
Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 3 2023 lúc 0:00

- Với \(n=0\) thỏa mãn

- Với \(n>0\)

\(n^3+3n^2+n+3=\left(n^2+1\right)\left(n+3\right)=p^k\) với p nguyên tố và \(k\ge1\)

Gọi \(d=ƯC\left(n^2+1;n+3\right)\Rightarrow n\left(n+3\right)-\left(n^2+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3n-1⋮d\Rightarrow3\left(n+3\right)-\left(3n-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow10⋮d\Rightarrow d=\left\{1;2;5;10\right\}\) (loại 10 do khi đó \(p^k\) có 2 ước nguyên tố khác nhau)

TH1: \(d=1\Rightarrow p^k\) có ít nhất 2 ước nguyên tố (ktm)

TH2: \(d=2\Rightarrow p^k⋮2\Rightarrow p=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2+1=2^a\\n+3=2^b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(2^b-3\right)^2+1=2^a\) với \(a\ge1;b\ge2\)

\(\Rightarrow2^{2b}-6.2^b+10=2^a\)

\(\Rightarrow2^{2b-1}-3.2^b+5=2^{a-1}\)

Nếu \(a>1\Rightarrow\) vế trái lẻ vế phải chẵn (vô lý)  \(\Rightarrow a=1\)

\(\Rightarrow n=1\Rightarrow N=8=2^3\) thỏa mãn

TH3: \(d=5\Rightarrow p=5\Rightarrow\left(n^2+1\right)\left(n+3\right)=5^k\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2+1=5^a\\n+3=5^b\end{matrix}\right.\) với \(a;b\ge1\)

\(\Rightarrow\left(5^b-3\right)^2+1=5^a\)

\(\Rightarrow5^{2b}-6.5^b+10=5^a\)

\(\Rightarrow5^{2b-1}-6.5^{b-1}+2=5^{a-1}\)

Nếu a;b đều lớn hơn 1 \(\Rightarrow\) vế trái ko chia hết cho 5, vế phải chia hết cho 5 (vô lý)

\(\Rightarrow\) Phải có ít nhất a hoặc b bằng 1

- Nếu \(a=1\Rightarrow n^2+1=5\Rightarrow n=2\)

\(\Rightarrow N=25=5^2\) (thỏa mãn)

- Nếu \(b=1\Rightarrow n+3=5\Rightarrow n=2\) như trên

Vậy \(n=\left\{0;1;2\right\}\)


Các câu hỏi tương tự
Xuân Thường Đặng
Xem chi tiết
Thảo Thảo
Xem chi tiết
Nguyên
Xem chi tiết
Đỗ Thành Đạt
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
gh
Xem chi tiết
LovE _ Khánh Ly_ LovE
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Trần Thủy Tiên
Xem chi tiết