1: Xét tứ giác ABDE có \(\hat{ADB}=\hat{AEB}=90^0\)
nên ABDE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB
Tâm I là trung điểm của AB
ABDE là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{BED}=\hat{BAD}=\hat{BAM}\) (1)
Xét (O) có
\(\hat{BAM};\hat{BNM}\) là các góc nội tiếp chắn cung BM
Do đó: \(\hat{BAM}=\hat{BNM}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{BED}=\hat{BNM}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên ED//MN
2: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\hat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB~ΔAFC
=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)
=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
góc EAF chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}\)
=>\(AE=EF\cdot\frac{AB}{BC}\)
Xét ΔCDA vuông tại D và ΔCEB vuông tại E có
góc DCA chung
Do đó: ΔCDA~ΔCEB
=>\(\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}\)
=>\(CE=CD\cdot\frac{CB}{CA}\)
\(AE\cdot AC\cdot CE\)
\(=EF\cdot\frac{AB}{BC}\cdot AC\cdot CD\cdot\frac{CB}{CA}=EF\cdot AB\cdot CD\)
3: Trên tia đối của tia IH, lấy M sao cho IH=IM
=>I là trung điểm của MH
Xét tứ giác BHAM có
I là trung điểm chung của BA và HM
=>BHAM là hình bình hành
=>BH//AM
=>AM⊥ AC
=>A nằm trên đường tròn đường kính CM(3)
BHAM là hình bình hành
=>BM//AH
mà AH⊥BC
nên BM⊥BC
=>B nằm trên đường tròn đường kính MC(4)
Từ (3),(4) suy ra A,B cùng nằm trên đường tròn đường kính MC
=>A,B,C cùng nằm trên đường tròn đường kính MC
=>O là trung điểm của MC
ΔOAB cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI⊥AB
mà HK⊥AB
nên OI//HK
Xét ΔCHM có
K,O lần lượt là trung điểm của CH,CM
=>KO là đường trung bình của ΔCHM
=>KO//HM
=>KO//HI
Xét tứ giác HKOI có
HK//OI
HI//OK
Do đó: HKOI là hình bình hành
