1.
\(6\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6^{2n}\equiv1\left(mod5\right)\\6^n\equiv1\left(mod5\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P\equiv2.1+1-3\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow P\equiv0\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow P⋮5\)
2. Chứng minh bằng quy nạp:
Với \(n=1\Rightarrow P=75⋮25\) (thỏa mãn)
Giả sử bài toán đúng với \(n=k\ge1\) hay \(P_k=2.6^{2k}+6^k-3⋮25\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay \(P_{k+1}=2.6^{2\left(k+1\right)}+6^{k+1}-3⋮5\)
Thật vậy
\(P_{k+1}=2.6^{2k+2}+6.6^k-3=72.6^{2k}+6.6^k-3\)
\(=36\left(2.6^{2k}+6^k-3\right)-30.6^k+105=36\left(2.6^{2k}+6^k-3\right)+5\left(21-6.6^k\right)\)
Mà \(6^k\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow21-6.6^k\equiv21-6\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow21-6.6^k\equiv15\left(mod5\right)\Rightarrow21-6.6^k⋮5\)
\(\Rightarrow5\left(21-6.6^k\right)⋮25\)
\(\Rightarrow P_{k+1}⋮25\) (đpcm)
