TOM2:
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó:AB=AC và OA là phân giác của góc BOC
ΔOBC cân tại O
mà OA là đường phân giác
nên OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔBOA vuông tại B có cos BOA=\(\frac{OB}{OA}=\frac12\)
nên \(\hat{BOA}=60^0\)
ΔOBA vuông tại B
=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)
=>\(BA^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)
=>\(BA=R\sqrt3\)
b: Xét (O) có
ΔBKD nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBKD vuông tại K
=>BK⊥AD tại K
Xét ΔABD vuông tại B có BK là đường cao
nên \(DK\cdot DA=DB^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)
TOM5:
1: Xét (O) có
CA,CM là các tiếp tuyến
Do đó: CA=CM và OC là phân giác của góc MOA
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB
CM+MD=CD
=>CD=CA+DB
2: OC là phân giác của góc MOA
=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)
OD là phân giác của góc MOB
=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)
Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)
=>\(\hat{COD}=90^0\)
3: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MC\cdot MD=OM^2\)
=>\(AC\cdot BD=R^2=\left(\frac{AB}{2}\right)^2=\frac14AB^2\)
4: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔMBA vuông tại M
=>MA⊥MB
ΔOAM cân tại O
mà OC là đường phân giác
nên OC⊥AM
ΔOBM cân tại O
mà OD là đường phân giác
nên OD⊥BM
Ta có: OC⊥AM
AM⊥MB
Do đó:OC//MB
5: Gọi K là trung điểm của CD
=>K là tâm đường tròn đường kính CD
ΔOCD vuông tại O
mà OK là đường trung tuyến
nên OK=KC=KD
=>O nằm trên (K)
Xét hình thang ACDB có
O,K lần lượt là trung điểm của AC,BD
=>OK là đường trung bình của hình thang ACDB
=>OK//AC//BD
=>OK⊥AB
Xét (K) có
KO là bán kính
AB⊥KO tại O
DO đó; AB là tiếp tuyến tại O của (K)
6: Xét ΔNCA và ΔNBD có
\(\hat{NCA}=\hat{NBD}\) (hai góc so le trong, CA//BD)
\(\hat{CNA}=\hat{BND}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔNCA~ΔNBD
=>\(\frac{NC}{NB}=\frac{NA}{ND}=\frac{AC}{BD}=\frac{CM}{MD}\)
Xét ΔCBD có \(\frac{CM}{MD}=\frac{CN}{NB}\)
nên MN//BD
=>MN⊥AB
