Question

Answer 1

a: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\) ; \(BE\cdot BA=BH^2\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\) ; \(CF\cdot CA=CH^2\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

=>\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

Do đó: ΔAEF~ΔACB

=>\(\hat{AEF}=\hat{ACB}\)

b: \(BE\cdot BA=BH^2\)

=>\(BE=\frac{BH^2}{AB}\)

\(CF\cdot CA=CH^2\)

=>\(CF=\frac{CH^2}{CA}\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\) ; \(AH^2=HB\cdot HC\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC;AC^2=CH\cdot CB\)

=>\(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\frac{BH}{CH}\)

\(\frac{BE}{CF}=\frac{BH^2}{AB}:\frac{CH^2}{AC}\)

\(=\frac{BH^2}{AB}\cdot\frac{AC}{CH^2}\)

\(=\left(\frac{BH}{CH}\right)^2\cdot\frac{AC}{AB}\)

\(=\left(\frac{AB^2}{AC^2}\right)^2\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^4}{AC^4}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^3}{AC^3}\)

c: \(BE\cdot CF\cdot BC\)

\(=\frac{BH^2}{AB}\cdot\frac{CH^2}{AC}\cdot BC\)

\(=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}\cdot BC=AH^3\)