Lời giải:
Đặt $(\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z})=(a,b,c)$
Bài toán trở thành:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm max:
\(P=\sum \frac{ab}{\sqrt{5b^2+2ab+2a^2}}\)
-------------------
Ta thấy:
\(5b^2+2ab+2a^2=a^2+4b^2+a^2+b^2+2ab\)
\(\geq a^2+4b^2+2ab+2ab=(a+2b)^2\) theo BĐT AM-GM
\(\Rightarrow \sqrt{5b^2+2ab+2a^2}\geq a+2b\). Tương tự với các phân thức còn lại:
\(P\leq \sum \frac{ab}{a+2b}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P\leq \sum \frac{ab}{a+2b}=\sum \frac{ab}{a+b+b}\leq \sum \frac{1}{9}(\frac{ab}{a}+\frac{ab}{b}+\frac{ab}{b})=\frac{\sum a}{3}=1\)
Vậy $P_{\max}=1$. Giá trị này đạt tại $a=b=c=1$
$\Leftrightarrow x=y=z=1$
