a: Xét tứ giác AEDB có \(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)

nên AEDB là tứ giác nội tiếp

b:

Xét ΔABC có

BE,AD là các đường cao
BE cắt AD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔBAC

=>CH\(\perp\)AB

Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BA\(\perp\)BK

mà CH\(\perp\)BA

nên CH//BK

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

=>CA\(\perp\)CK

mà BH\(\perp\)CA

nên BH//CK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

ΔOBC cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của BC

Ta có: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của BC

nên I là trung điểm của HK

Xét ΔAHK có

I,O lần lượt là trung điểm của KH,KA

=>IO là đường trung bình của ΔAHK

=>AH=2OI

d: Vì OI=6cm+r

nên (O) tiếp xúc ngoài với (I) tại H

Gọi HK là tiếp tuyến chung của (O) và (I) tại H, với K\(\in\)AB

Xét (O) có

KA,KH là các tiếp tuyến

Do đó: KA=KH

Xét (I) có

KH,KB là các tiếp tuyến

Do đó: KH=KB

=>KA=KH=KB

=>K là trung điểm của AB

Xét ΔHAB có

HK là đường trung tuyến

HK=AB/2

Do đó: ΔHAB vuông tại H

Gọi M là trung điểm của OI

=>\(OM=\dfrac{OI}{2}=\dfrac{8}{2}=4\left(cm\right)\)

Ta có: OM+MH=OH

=>MH=OH-OM=2(cm)

Xét hình thang OABI có

K,M lần lượt là trung điểm của AB,OI

=>KM là đường trung bình của hình thang OABI

=>\(KM=\dfrac{OA+IB}{2}=\dfrac{6+2}{2}=4\left(cm\right)\)

ΔKHM vuông tại H

=>\(HK^2+HM^2=KM^2\)

=>\(HK=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

=>\(AB=2\cdot HK=2\cdot2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

=>Đúng

c: Vì OI>r+6cm

nên (O) và (I) không cắt nhau

=>Sai

a: Vì OI<6cm+r

nên (O) cắt (I) 

=>Đúng

b: Vì OI=r-6cm

nên (O) tiếp xúc trong với (I)

=>Số điểm chung của hai đường tròn là 1

=>Sai

d: Vì OI=6cm+r

nên (O) tiếp xúc ngoài với (I) tại H

Gọi HK là tiếp tuyến chung của (O) và (I) tại H, với K\(\in\)AB

Xét (O) có

KA,KH là các tiếp tuyến

Do đó: KA=KH

Xét (I) có

KH,KB là các tiếp tuyến

Do đó: KH=KB

=>KA=KH=KB

=>K là trung điểm của AB

Xét ΔHAB có

HK là đường trung tuyến

HK=AB/2

Do đó: ΔHAB vuông tại H

Gọi M là trung điểm của OI

=>\(OM=\dfrac{OI}{2}=\dfrac{8}{2}=4\left(cm\right)\)

Ta có: OM+MH=OH

=>MH=OH-OM=2(cm)

Xét hình thang OABI có

K,M lần lượt là trung điểm của AB,OI

=>KM là đường trung bình của hình thang OABI

=>\(KM=\dfrac{OA+IB}{2}=\dfrac{6+2}{2}=4\left(cm\right)\)

ΔKHM vuông tại H

=>\(HK^2+HM^2=KM^2\)

=>\(HK=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

=>\(AB=2\cdot HK=2\cdot2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

=>Đúng

c: Vì OI>r+6cm

nên (O) và (I) không cắt nhau

=>Sai

a: Vì OI<6cm+r

nên (O) cắt (I) 

=>Đúng

b: Vì OI=r-6cm

nên (O) tiếp xúc trong với (I)

=>Số điểm chung của hai đường tròn là 1

=>Sai

Bài 16:

a: Thay x=2 và y=5 vào \(y=a\cdot x^2\), ta được:

\(a\cdot2^2=5\)

=>4a=5

=>\(a=\dfrac{5}{4}\)

b: Thay x=6 vào y=2x-3, ta được:

\(y=2\cdot6-3=12-3=9\)

Thay x=6 và y=9 vào \(y=a\cdot x^2\), ta được:

\(a\cdot6^2=9\)

=>36a=9

=>\(a=\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}\)

c: Thay y=-5 vào y=-x+1, ta được:

-x+1=-5

=>-x=-6

=>x=6

Thay x=6 và y=-5 vào \(y=a\cdot x^2\), ta được:

\(a\cdot6^2=-5\)

=>36a=-5

=>\(a=-\dfrac{5}{36}\)

Bài 15:

a: Thay x=1 vào y=4x-1, ta được:

\(y=4\cdot1-1=4-1=3\)

Thay x=1 và y=3 vào \(y=\left(2m+1\right)x^2\), ta được:

\(\left(2m+1\right)\cdot1^2=3\)

=>2m+1=3

=>2m=2

=>m=1

b: Thay m=1 vào \(y=\left(2m+1\right)x^2\), ta được:

\(y=\left(2\cdot1+1\right)x^2=3x^2\)

Vẽ đồ thị:

Bài 14:

Thay x=1 và y=-1 vào \(y=a\cdot x^2\), ta được:

\(a\cdot1^2=-1\)

=>a=-1

=>\(y=-x^2\)

a: Thay x=3 vào \(y=-x^2\), ta được:

\(y=-x^2=-3^2=-9\)

b: Thay y=-3 vào \(y=-x^2\), ta được:

\(-x^2=-3\)

=>\(x^2=3\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy: Các điểm cần tìm là \(A\left(\sqrt{3};-3\right);B\left(-\sqrt{3};-3\right)\)

c: Thay y=2x vào \(y=-x^2\), ta được:

\(-x^2=2x\)

=>\(x^2+2x=0\)

=>x(x+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Khi x=0 thì \(y=2\cdot x=2\cdot0=0\)

Thay x=-2 vào y=2x, ta được:

\(y=2\cdot\left(-2\right)=-4\)

Vậy: Các điểm cần tìm là O(0;0); A(-2;-4)

Bài 13:

a: Để hàm số đồng biến khi x<0 thì \(\dfrac{m-3}{m-2}-1< 0\)

=>\(\dfrac{m-3-m+2}{m-2}< 0\)

=>\(\dfrac{-1}{m-2}< 0\)

=>m-2>0

=>m>2

b: Để hàm số đồng biến khi x>0 thì \(\dfrac{m-3}{m-2}-1>0\)

=>\(\dfrac{m-3-m+2}{m-2}>0\)

=>\(-\dfrac{1}{m-2}>0\)

=>m-2<0

=>m<2

c: Khi m=-1 thì \(y=\left(\dfrac{-1-3}{-1-2}-1\right)x^2=\left(-\dfrac{4}{-3}-1\right)x^2=\dfrac{1}{3}x^2\)

Vẽ đồ thị:

Vì \(a=\dfrac{1}{3}>0\)

nên hàm số đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0

\(y=\dfrac{1}{3}x^2>=0\forall x\)

=>\(y_{min}=0\) khi x=0

Thay x=-5 vào (P), ta được:

\(y=\dfrac{1}{3}\cdot\left(-5\right)^2=\dfrac{25}{3}\)

Thay x=3 vào (P), ta được:

\(y=\dfrac{1}{3}\cdot3^2=3\)

=>Khi x tăng từ -5 đến 3 thì \(y_{min}=0\) khi x=0; \(y_{max}=\dfrac{25}{3}\) khi x=-5