Trần Tuấn Hoàng
2 giờ trước (22:07)

\(Đk:x\ge5;y\ge2019;z\ge-2021\)

\(\sqrt{x-5}+\sqrt{y-2019}+\sqrt{z+2021}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z-2\sqrt{x-5}-2\sqrt{y-2019}-2\sqrt{z+2021}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x-5\right)-2\sqrt{x-5}+1\right]+4+\left[\left(y-2019\right)-2\sqrt{y-2019}+1\right]+2018+\left[\left(z+2021\right)-2\sqrt{z+2021}+1\right]-2022=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-5}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2019}-1\right)^2+\left(\sqrt{z+2021}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x-5}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y-2019}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{z+2021}-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=2020\\z=-2020\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

 

Bình luận (0)
Trần Tuấn Hoàng
2 giờ trước (22:14)

\(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+1}\ge2-\dfrac{b}{b+1}-\dfrac{c}{c+1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+1}\ge2-\dfrac{b}{b+1}-\dfrac{c}{c+1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+1}\ge\left(1-\dfrac{b}{b+1}\right)+\left(1-\dfrac{c}{c+1}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+1}\ge\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\)

- Áp dụng bất đẳng thức Caushy cho các số dương:

\(\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\ge\dfrac{2}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+1}\ge\dfrac{2}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}>0\left(1\right)\)

- Tương tự: 

\(\dfrac{b}{b+1}\ge\dfrac{2}{\sqrt{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}>0\left(2\right)\)

\(\dfrac{c}{c+1}\ge\dfrac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}>0\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\dfrac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\dfrac{8}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

\(\Rightarrow abc\ge8\)

- Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

Bình luận (0)
Trần Tuấn Hoàng
2 giờ trước (22:32)

- Bổ đề (1): Cho ΔABC, D,E,F là 3 điểm lần lượt nằm trên cạnh BC,CA,AB sao cho AD,BE,CF đồng quy tại H. Khi đó ta có:

\(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=1\)

*Chứng minh:

\(\dfrac{HD}{AD}=\dfrac{S_{BHD}}{S_{ABD}}=\dfrac{S_{CHD}}{S_{ACD}}=\dfrac{S_{BHD}+S_{CHD}}{S_{ABD}+S_{ACD}}=\dfrac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)

- Tương tự: 

\(\dfrac{HE}{BE}=\dfrac{S_{CHA}}{S_{ABC}};\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{BHC}+S_{CHA}+S_{AHB}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\left(đpcm\right)\)

- Bổ đề 2: Cho ΔABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp. AD, BE,CF lần lượt là các đường cao và H là trực tâm ΔABC. M,N,K là giao của AD,BE,CF với \(\left(O\right)\). Khi đó ta có:

\(HD=MD;HE=NE;HF=KF\)

*Chứng minh:

Dựng đường kính AP của \(\left(O\right)\).

- ΔACP, ΔABP, ΔAMP nội tiếp đường tròn đường kính AP.

\(\Rightarrow AB\perp BP\) tại B, \(AC\perp CP\) tại C, \(AM\perp MP\) tại M

Mà \(AB\perp CH\)\(AC\perp BH\)\(AM\perp BC\)

\(\Rightarrow\)CH//BP,BH//CP,BC//MP nên BHCP là hình bình hành.

HP cắt BC tại I \(\Rightarrow\)I là trung điểm HP.

Mà ID//MP \(\Rightarrow\)D là trung điểm HM.

\(\Rightarrow HD=MD\).

CMTT: \(HE=NE;HF=KF\)

- Quay lại bài toán. Gọi H là trực tâm của ΔABC. Ta có:

\(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=1+\dfrac{DM}{AD}+1+\dfrac{NE}{BE}+1+\dfrac{KF}{CF}=3+\left(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}\right)=3+1=4\left(đpcm\right)\)

 

 

Bình luận (0)
Mai Ngọc
^JKIES Nguyễn^
3 giờ trước (21:04)

\(\sqrt{2x}-\sqrt{50}=0\\ đkx\ge0\\ \left(\sqrt{2x}\right)^2=\left(\sqrt{50}\right)^2\\ =>2x=50\\ =>x=50:2\\ =>x=25\)

Bình luận (0)
Nguyên xu cà na
Doraemon2611
3 giờ trước (20:36)

Đề là: Tìm `x` để căn thức có nghĩa?

Căn thức có nghĩa `<=>6x-1 >= 0<=>x >= 1/6`

Bình luận (0)
cậu bé không tên
3 giờ trước (20:35)

ĐK: 2x + 1 >= 0
<=> x >= -1/2

Bình luận (0)