\[ 4xy(x^2 + y^2) - 6(x^3 + y^3 + x^2y + xy^2) + 9(x^2 + y^2) \]
\(...=4xy\left(x^2+y^2\right)+9\left(x^2+y^2\right)-6\left[\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\left(x+y\right)\right]\)
\(=4xy\left(x^2+y^2\right)+9\left(x^2+y^2\right)-6\left(x+y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(=\left(x^2+y^2\right)\left[4xy+9-6\left(x+y\right)^2\right]\)
\(=\left(x^2+y^2\right)\left(4xy+9-6x^2-6y^2-12xy\right)\)
\(=\left(x^2+y^2\right)\left(-6x^2-6y^2-8xy+9\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
2 tháng 3 lúc 11:36
Tìm số nguyên dương \( n \) và các số nguyên \( a, b \) thoả mãn
\[ a^2 + b^2 + 19ab = 7 \cdot 3^n \]
\(a^2+b^2+19ab=7\cdot3^n\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+19ab⋮3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+ab⋮3\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2-ab⋮3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^2⋮3\\ab⋮3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b⋮3\\ab⋮3\end{matrix}\right.\)
Để a+b chia hết cho 3 ta xét 3 trường hợp
TH1: a và b chia hết cho 3
Gọi a = 3k, b = 3m (k,m nguyên dương)
=> ab = 9km chia hết cho 3 (thoả mãn)
Mà a, b nguyên tố nên a = b = 3 => \(7\cdot3^n=3^2+3^2+19.3.3=189\Rightarrow3^n=27\Rightarrow n=3\)
TH2: a chia 3 dư 1, b chia 3 dư 2
Gọi a = 3k+1, b = 3m+2 (k,m nguyên dương)
=> ab = (3k+1)(3m+2) = 9km + 3m + 6k + 2 chia 3 dư 2 (loại)
TH3: a chia 3 dư 2, b chia 3 dư 1
=> Tương tự TH2 ab cũng chia 3 dư 2 (loại)
Vậy có 1 trường hợp thoả mãn đề bài là a = b = n = 3.
Đúng 0
Bình luận (0)
giải giúp mình với
giải giúp mình
Bài 1: Tính
a) \(\frac{y}{x^2 - xy}\) và \(\frac{x}{y^2 - xy}\)
b) \(\frac{x^2 + 2}{x^3 - 1} + \frac{3}{x^2 + x + 1} + \frac{1}{1 - x}\)
vẽ hộ hình và giải giúp với ạ
**Văn bản từ ảnh:**
Bài 2.
Cho \( \triangle ABC \) có \( AB = 9 \, \text{cm} \), \( AC = 12 \, \text{cm} \), \( BC = 7 \, \text{cm} \). Trên tia đối của tia \( BA \) lấy \( D \) sao cho \( BD = BC \).
a) Chứng minh \( \triangle ABC \cong \triangle ACD \)
b) Tính độ dài \( CD \)?
c) Chứng minh \( \angle ABC = 2 \cdot \angle ACB \)
**Giải:**
a) Để chứng minh \( \triangle ABC \cong \triangle ACD \), ta cần chỉ ra ba yếu tố bằng nhau giữa hai tam giác. Trong trường hợp này, ta có:
- \( AB = AC \) (giả thiết)
- \( BC = BD \) (giả thiết)
- \( \angle ACB = \angle ACD \) (góc chung)
Vậy \( \triangle ABC \cong \triangle ACD \) theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS).
b) Vì \( \triangle ABC \cong \triangle ACD \), ta có \( CD = AB = 9 \, \text{cm} \).
c) Để chứng minh \( \angle ABC = 2 \cdot \angle ACB \), ta cần sử dụng các tính chất của tam giác và góc. Vì \( \triangle ABC \cong \triangle ACD \), các góc tương ứng sẽ bằng nhau. Do đó, ta có:
\[ \angle ABC = \angle ACD + \angle ACB \]
Vì \( \angle ACD = \angle ACB \), nên:
\[ \angle ABC = 2 \cdot \angle ACB \]
Vậy đã chứng minh được yêu cầu.
a: AD=AB+BD=9+7=16(cm)
Xét ΔABC và ΔACD có
\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AC}{AD}\left(\dfrac{9}{12}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\right)\)
\(\widehat{BAC}\) chung
Do đó: ΔABC~ΔACD
b: ΔABC~ΔACD
=>\(\dfrac{BC}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(\dfrac{7}{CD}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\)
=>\(CD=7\cdot\dfrac{4}{3}=\dfrac{28}{3}\left(cm\right)\)
c: ΔABC~ΔACD
=>\(\widehat{ACB}=\widehat{ADC}\)
mà \(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\)(ΔBCD cân tại B)
nên \(\widehat{ACB}=\widehat{DCB}\)
=>CB là phân giác của góc ACD
=>\(\widehat{ACD}=2\cdot\widehat{ACB}\)
mà \(\widehat{ACD}=\widehat{ABC}\)
nên \(\widehat{ABC}=2\cdot\widehat{ACB}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
giải giúp mình với ạ
Bài 3:
a) \(\frac{x}{2xy - y^2} + \frac{y^2 - 2x}{xy - y^2}\)
b) \(\frac{-3x^2}{x+1} + \frac{3}{x+1}\)
a, `\frac{x}{xy-y^2}+\frac{y^2-2x}{xy-y^2}`
`=\frac{x+y^2-2x}{xy-y^2}`
`=\frac{y^2-x}{xy-y^2}`
b, `\frac{-3x^2}{x+1}+\frac{3}{x+1}`
`=\frac{-3x^2+3}{x+1}`
`=\frac{-3(x^2-1)}{x+1}`
`=\frac{-3(x-1)(x+1)}{x+1}`
`=-3(x-1)`
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 12. Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ, và \( a + b + c = 0 \). Chứng minh rằng
\[
A = \left( \frac{a-b}{c} + \frac{b-c}{a} + \frac{c-a}{b} \right) \left( \frac{c}{a-b} + \frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a} \right) = 9
\]
a+b+c=0 => a= -c-b
b= -c-a
c = -b-a
thay vào : a-b/-b-a + b-c/-c-b + c - a / -c-a = -1 - 1-1 = -3
thay vào vế phải tương tự ta được -3 => A = -3 nhân -3 = 9
Đúng 0
Bình luận (0)
Đặt \(\dfrac{a-b}{c}=x\Rightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{c}{a-b}\)
\(\dfrac{b-c}{a}=y\Rightarrow\dfrac{1}{y}=\dfrac{a}{b-c}\)
\(\dfrac{c-a}{b}=z\Rightarrow\dfrac{1}{z}=\dfrac{b}{c-a}\)
\(\Rightarrow A=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Áp dụng Bđt Cauchy ta có :
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz}}\)
\(\Rightarrow A=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge3.3.\sqrt[3]{xyz.\dfrac{1}{xyz}}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
\(\Rightarrow\dfrac{a-b}{c}=\dfrac{b-c}{a}=\dfrac{c-a}{b}=\dfrac{a-b+b-c+c-a}{a+b+c}=0\)
\(\Rightarrow a=b=c=0\) (Đúng với \(a+b+c=0\))
Vậy ta được đpcm
Đúng 1
Bình luận (1)
Rút gọn biểu thức
A= \(\dfrac{x^4-\left(x-1\right)^2}{x^2+1-x^2}+\dfrac{x^2-x^2-1}{x^2\left(x+1\right)^2-1}+\dfrac{x^2\left(x-1\right)^2-1}{x^4-\left(x+1\right)^2}\)
Một người đo chiều cao của một cây nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao 2m và đặt xa cây 18m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 1m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,5m?
`\triangleAFG` có `DE//FG=>\frac{AE}{AG}=\frac{DE}{FG}=\frac{1,5}{2}`
`=>\frac{AE}{AE+1}=3/4`
`=>AE=1(m)`
`\triangleABC` có `FG//BC=>\frac{FG}{BC}=\frac{AG}{AC}=\frac{1+1}{1+1+18}=1/10`
`=>\frac{2}{BC}=1/10`
`=>BC=20(m)`
Vậy cây cao `20m`
Đúng 0
Bình luận (1)
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau
a) \( A = \frac{8}{(x^2+3)(x^2-1)} + \frac{2}{x^2+3} + \frac{1}{x-1} \)
b) \( B = \frac{x^3+x^2-2x-20}{x^2-4} - \frac{5}{x+2} + \frac{3}{x-2} \)
c) \( N = \left( \frac{x-y}{x+y} + \frac{x+y}{x-y} \right) \cdot \left( \frac{x^2+y^2}{2xy} + 1 \right) \cdot \frac{xy}{x^2+y^2} \)
a, `A=\frac{8}{(x^2+3)(x^2-1)}+\frac{2}{x^2+3}+\frac{1}{x-1}`
`=\frac{8}{(x^2+3)(x-1)(x+1)}+\frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+3)(x-1)(x+1)}+\frac{(x^2+3)(x+1)}{(x^2+3)(x-1)(x+1)}`
`=\frac{8+2x^2-2+x^3+x^2+3x+3}{(x^2+3)(x-1)(x+1)}`
`=\frac{x^3+3x^2+3x+9}{(x^2+3)(x-1)(x+1)}`
`=\frac{(x^2+3)(x+3)}{(x^2+3)(x-1)(x+1)}`
`=\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}`
b, `B=\frac{x^3+x^2-2x-20}{x^2-4}-\frac{5}{x+2}+\frac{3}{x-2}`
`=\frac{x^3+x^2-2x-20}{(x-2)(x+2)}-\frac{5(x-2)}{(x-2)(x+2)}+\frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)}`
`=\frac{x^3+x^2-2x-20-5x+10+3x+6}{(x-2)(x+2)}`
`=\frac{x^3+x^2-4x-4}{(x-2)(x+2)}`
`=\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}`
`=x+1`
c, `N=(\frac{x-y}{x+y}+\frac{x+y}{x-y})*(\frac{x^2+y^2}{2xy}+1)*\frac{xy}{x^2+y^2}`
`=\frac{(x-y)^2+(x+y)^2}{(x+y)(x-y)}*\frac{x^2+y^2+2xy}{2xy}*\frac{xy}{x^2+y^2}`
`=\frac{2(x^2+y^2)}{(x+y)(x-y)}*\frac{(x+y)^2}{2xy}*\frac{xy}{x^2+y^2}`
`=\frac{x+y}{x-y}`
Đúng 2
Bình luận (0)