a: \(\text{Δ}=2^2-4\cdot1\cdot\left(m-2\right)\)

=4-4m+8

=-4m+12

Để phương trình (1) có nghiệm thì -4m+12>=0

=>-4m>=-12

=>m<=3

b: Thay x=2 vào (1), ta được:

\(2^2+2\cdot2+m-2=0\)

=>4+4+m-2=0

=>m+6=0

=>m=-6

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-2\)

=>\(x_2=-2-x_1=-2-2=-4\)

a: \(\text{Δ}=\left[-\left(m+5\right)\right]^2-4\left(2m+6\right)\)

\(=m^2+10m+25-8m-24\)

\(=m^2+2m+1=\left(m+1\right)^2>=0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m+5\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m+6\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=35\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=35\)

=>\(\left(m+5\right)^2-2\left(2m+6\right)=35\)

=>\(m^2+10m+25-4m-12-35=0\)

=>\(m^2+6m-22=0\)

=>\(m=-3\pm\sqrt{31}\)

\(\text{Δ}=\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)\)

\(=4m^2-4m+1-4m^2+4=-4m+5\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>-4m+5>0

=>-4m>-5

=>\(m< \dfrac{5}{4}\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-2m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-1\end{matrix}\right.\)

\(P=x_1^2+x_2^2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\left(-2m+1\right)^2-2\left(m^2-1\right)\)

\(=4m^2-4m+1-2m^2+2=2m^2-4m+3\)

\(=2m^2-4m+2+1=2\left(m-1\right)^2+1>=1\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m-1=0

=>m=1

a: Thay x=-1 vào phương trình, ta được:

\(\left(-1\right)^2-2\cdot\left(-1\right)+m+3=0\)

=>1+2+m+3=0

=>m+6=0

=>m=-6

Theo vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\)

=>\(x_2=2-x_1=2-\left(-1\right)=3\)

b: \(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m+3\right)\)

=4-4m-12

=-4m-8

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>-4m-8>0

=>4m+8<0

=>m<-2

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+3\end{matrix}\right.\)

\(x_1^3+x_2^3=8\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=8\)

=>\(2^3-3\cdot2\cdot\left(m+3\right)=8\)

=>6(m+3)=0

=>m+3=0

=>m=-3(nhận)

a: Xét (O) có

ΔBEA nội tiếp

BA là đường kính

Do đó: ΔBEA vuông tại E

=>BE\(\perp\)MA tại E

Xét (O) có

ΔBFA nội tiếp

BA là đường kính

Do đó: ΔBFA vuông tại F

=>AF\(\perp\)MB tại F

b: Xét tứ giác MEHF có \(\widehat{MEH}+\widehat{MFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên MEHF là tứ giác nội tiếp

=>M,E,H,F cùng thuộc một đường tròn

c: Xét ΔMAB có

AF,BE là các đường cao

AF cắt BE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔMAB

=>MH\(\perp\)AB tại K

ΔMEH vuông tại E

mà EI là đường trung tuyến

nên IE=IH

=>ΔIEH cân tại I

=>\(\widehat{IEH}=\widehat{IHE}\)

mà \(\widehat{IHE}=\widehat{KHB}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{IEH}=\widehat{KHB}\)

ΔOEB cân tại O

=>\(\widehat{OEB}=\widehat{OBE}\)

\(\widehat{IEO}=\widehat{IEB}+\widehat{OEB}=\widehat{EBA}+\widehat{KHB}=90^0\)

=>IE\(\perp\)EO tại E

d:

ΔMFH vuông tại F

mà FI là đường trung tuyến

nên FI=IH

=>IF=IE

Xét ΔIEO và ΔIFO có

IE=IF

OE=OF

IO chung

Do đó: ΔIEO=ΔIFO

=>\(\widehat{IEO}=\widehat{IFO}=90^0\)

=>I,E,O,F cùng thuộc đường tròn đường kính IO

Ta có: \(\dfrac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}=\dfrac{\sqrt{5+2\cdot\sqrt{5}\cdot1+1}}{\sqrt{5}+1}=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}}{\sqrt{5}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}=1\) (1)

\(\dfrac{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=1\) (2)

Từ (1)(2) \(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}=\dfrac{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) (đpcm)

26: ĐKXĐ: x>=3

\(\sqrt{x-3}+\sqrt{9x-27}-\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{4x-12}=6\)

=>\(\sqrt{x-3}+3\sqrt{x-3}-\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{x-3}=6\)

=>\(3\sqrt{x-3}=6\)

=>\(\sqrt{x-3}=2\)

=>x-3=4

=>x=4+3=7(nhận)

28: ĐKXĐ: x>=-3

\(\sqrt{16x+48}-7\sqrt{x+3}+\dfrac{3}{4}\sqrt{4x+12}=-6\)

=>\(4\sqrt{x+3}-7\sqrt{x+3}+\dfrac{3}{4}\cdot2\sqrt{x+3}=-6\)

=>\(-\dfrac{3}{2}\sqrt{x+3}=-6\)

=>\(\sqrt{x+3}=6:\dfrac{3}{2}=6\cdot\dfrac{2}{3}=4\)

=>x+3=16

=>x=16-3=13(nhận)

30: ĐKXĐ: x>=3

\(\sqrt{16x-48}-8\sqrt{4x-12}+\dfrac{2}{3}\sqrt{9x-27}=-20\)

=>\(4\sqrt{x-3}-8\cdot2\sqrt{x-3}+\dfrac{2}{3}\cdot3\sqrt{x-3}=-20\)

=>\(4\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3}+2\sqrt{x-3}=-20\)

=>\(-10\sqrt{x-3}=-20\)

=>\(\sqrt{x-3}=2\)

=>x-3=4

=>x=4+3=7(nhận)

1: ĐKXĐ: x>=3

\(\sqrt{4\cdot\left(x-3\right)}+\sqrt{9x-27}=10\)

=>\(2\sqrt{x-3}+3\sqrt{x-3}=10\)

=>\(5\sqrt{x-3}=10\)

=>\(\sqrt{x-3}=\dfrac{10}{5}=2\)

=>x-3=4

=>x=4+3=7(nhận)

3: ĐKXĐ: x>=2

\(\sqrt{4x-8}=6-\sqrt{x-2}\)

=>\(2\sqrt{x-2}+\sqrt{x-2}=6\)

=>\(3\sqrt{x-2}=6\)

=>\(\sqrt{x-2}=\dfrac{6}{3}=2\)

=>x-2=4

=>x=6(nhận)

5:

ĐKXĐ: x>=5

\(5\sqrt{x-5}+\sqrt{9x-45}=16\)

=>\(5\sqrt{x-5}+3\sqrt{x-5}=16\)

=>\(8\sqrt{x-5}=16\)

=>\(\sqrt{x-5}=2\)

=>x-5=4

=>x=4+5=9(nhận)