Bài 7 (3,0 điểm): Cho đường tròn (O), đường kính BC. Trên nửa đường tròn (O), lấy hai điểm A và D (theo thứ tự B, A, D, C). Tia BA và CD cắt nhau tại S, đoạn thẳng AC cắt BD tại H. Gọi I là trung điểm của SH.
a) Chứng minh tam giác ABC và tam giác BDC vuông. Chứng minh tứ giác SAHD nội tiếp.
b) Tia SH cắt BC tại M. DM cắt HC tại K. Chứng minh: \( \widehat{IAH} = \widehat{KDC} \).
c) Trong trường hợp \( \widehat{BSC} = 60^0 \) và BC = 6cm. Tính diện tích hình viên phân tạo bởi Cung AD và dây AD.
a: Xét (O) có
ΔBAC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBAC vuông tại A
=>CA\(\perp\)SB tại A
Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBDC vuông tại D
=>BD\(\perp\)SC tại D
Xét tứ giác SAHD có \(\widehat{SAH}+\widehat{SDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên SAHD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính SH
=>SAHD nội tiếp (I)
b: Xét ΔSBC có
BD,CA là các đường cao
BD cắt CA tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔSBC
=>SH\(\perp\)BC tại M
Xét tứ giác MHDC có \(\widehat{HMC}+\widehat{HDC}=90^0+90^0=180^0\)
nên MHDC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{MDC}=\widehat{MHC}\)
=>\(\widehat{KDC}=\widehat{MHC}\)
mà \(\widehat{MHC}=\widehat{IHA}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{IAH}=\widehat{IHA}\)(ΔIAH cân tại I)
nên \(\widehat{KDC}=\widehat{IAH}\)
c: Xét (O) có \(\widehat{BSC}\) là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung BC và AD
=>\(\widehat{BSC}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{BC}-sđ\stackrel\frown{AD}\right)\)
=>\(\dfrac{1}{2}\left(180^0-sđ\stackrel\frown{AD}\right)=60^0\)
=>\(180^0-\widehat{AOD}=60^0:\dfrac{1}{2}=120^0\)
=>\(\widehat{AOD}=60^0\)
BC=6cm
=>OB=OC=R=6/2=3(cm)
Diện tích tam giác AOD là:
\(S_{AOD}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OD\cdot sinAOD=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot3\cdot sin60=\dfrac{9}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\left(cm^2\right)\)
Diện tích hình quạt tròn OAD là:
\(S_{q\left(OAD\right)}=\dfrac{\Omega\cdot R^2\cdot n}{360}=\dfrac{\Omega\cdot3^2\cdot60}{360}=\dfrac{3\Omega}{2}\)
Diện tích hình viên phân tạo bởi dây cung AD và cung nhỏ AD là:
\(S_{vp\left(OAD\right)}=S_{q\left(OAD\right)}-S_{OAD}=\dfrac{3\Omega}{2}-\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\)
Câu 17: (2,5 điểm) 1. Cho đường tròn \( (O, R) \), một đường thẳng \( d \) cố định cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt, từ một điểm \( M \) thuộc đường thẳng \( d \) nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến \( MC, MD \) tới đường tròn \( (C, D \) là tiếp điểm\).
a) Chứng minh bốn điểm \( M, C, O, D \) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \( OM \perp CD \). Đoạn thẳng \( OM \) cắt đường tròn tại \( I \), chứng minh \( I \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( MCD \).
a: Xét tứ giác MCOD có \(\widehat{MCO}+\widehat{MDO}=90^0+90^0=180^0\)
nên MCOD là tứ giác nội tiếp
=>M,C,O,D cùng thuộc một đường tròn
b:
Xét (O) có
MC,MD là các tiếp tuyến
Do đó: MC=MD
=>M nằm trên đường trung trực của CD(1)
Ta có: OC=OD
=>O nằm trên đường trung trực của CD(2)
Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của CD
=>OM\(\perp\)CD
Ta có: \(\widehat{MCI}+\widehat{OCI}=\widehat{MCO}=90^0\)
\(\widehat{DCI}+\widehat{OIC}=90^0\)(OM\(\perp\)CD)
mà \(\widehat{OCI}=\widehat{OIC}\)(ΔOCI cân tại O)
nên \(\widehat{MCI}=\widehat{DCI}\)
=>CI là phân giác của góc MCD
Xét (O) có
MC,MD là các tiếp tuyến
Do đó: MO là phân giác của góc CMD
Xét ΔCMD có
MO,CI là các đường phân giác
MO cắt CI tại I
Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔCMD
II.
Câu 1. Vẽ hình theo kích thước sau:
Thấu kính hội tụ, tiêu cự là 2cm. đặt một vật AB cách thấu kính 5cm và có chiều cao là 3cm. Vẽ ảnh A’B’ tạo bởi thấu kính hội tụ.
Câu 2. Cho mạch điện có điện trở $R1 = 5 \, \Omega$; $R2 = 15 \, \Omega$ hiệu điện thế của nguồn điện là 60 V
a. tính điện trở tương ứng của mạch và số chỉ của ampe kế A.
b. tính số chỉ của vôn kế. (ghi tóm tắt và kẻ hình chính xác)
*đối với đoạn mạch nối tiếp
a. điện trở tương ứng của đoạn mạch là:
\(R_{tđ}=R_1+R_2=5+15=20\left(\Omega\right)\)
số chỉ của A là: \(I=\dfrac{U}{R_{tđ}}=\dfrac{60}{20}=3\left(A\right)\)
b. vì cường độ dòng điện có giá trị như nhau tại mọi điểm trong đoạn mạch nối tiếp nên:
\(I=I_1=I_2=3A\)
số chỉ vôn kế R1 là: \(U_{R_1}=I_1\cdot R_1=3\cdot5=15\left(V\right)\)
sô chỉ vôn kế \(R_2\) là: \(U_{R_2}=I_2\cdot R_2=3\cdot15=45\left(V\right)\)
*đối với đoạn mạch song song
a. điện trở tương đương của đoạn mạch là:
\(\dfrac{1}{R_{tđ}}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{3,75}\\ =>R_{tđ}=3,75\Omega\)
số chỉ của A là: \(I=\dfrac{U}{R_{tđ}}=\dfrac{60}{3,75}=16\left(A\right)\)
b. vì hiệu điện thế có giá trị như nhau tại 2 đầu mạch nên ta có:
\(U=U_{R_1}=U_{R_2}=60V\)
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(BD\) là đường chéo lớn. Qua \(A\) kẻ đường thẳng cắt \(BD, BC, DC\) lần lượt tại \(I, N, M\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(B\) trên \(AD\) và \(DC\). Chứng minh rằng:
a) \(IN \cdot IM = IA^2\);
b) \(\frac{1}{AI} = \frac{1}{AN} + \frac{1}{AM}\);
c) \(DC \cdot DK + DA \cdot DH = DB^2\).
Câu 14: Hai bạn Hà và Sơn cùng làm chung một công việc. Nếu mỗi người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian của Hà cần ít hơn thời gian của Sơn là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu để hoàn thành công việc, biết rằng làm chung thì hoàn thành trong 4 giờ?
Câu 15: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị. Hỏi số đó là bao nhiêu?
Câu 16: Tìm hai số hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng bằng 150.
Câu 15: Gọi số cần tìm có dạng là \(\overline{ab}\)
Tổng các chữ số của nó là 7 nên a+b=7
Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị nên ta có: \(\overline{ab}-\overline{ba}=45\)
=>10a+b-10b-a=45
=>9a-9b=45
=>a-b=5
mà a+b=7
nên \(a=\dfrac{5+7}{2}=6;b=a-5=6-5=1\)
Vậy: Số cần tìm là 61
Câu 16: Gọi số thứ nhất là x
Số thứ hai là x+5
Tích của chúng là 150 nên ta có: x(x+5)=150
=>\(x^2+5x-150=0\)
=>(x+15)(x-10)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x+15=0\\x-10=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-15\\x=10\end{matrix}\right.\)
Khi x=-15 thì x+5=-15+5=-10
Khi x=10 thì x+5=10+5=15
Vậy: Các cặp số có thể là (-15;-10) và (10;15)
Câu 10:
a: Khi m=1 thì phương trình sẽ trở thành:
\(x^2+2\cdot1\cdot x-3=0\)
=>\(x^2+2x-3=0\)
=>(x+3)(x-1)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=1\end{matrix}\right.\)
b: \(x^2+2mx-3=0\)
a=1; b=2m; c=-3
Vì \(a\cdot c=1\cdot\left(-3\right)=-3< 0\)
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-3\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=1\)
=>\(\left(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\right)+x_1x_2=1\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=1\)
=>\(\left(-2m\right)^2+\left(-3\right)=1\)
=>\(4m^2=4\)
=>\(m^2=1\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\)
Cho tam giác Δ A B C ΔABC nhận đường tròn ( O ) (O) nội tiếp. Gọi các đường cao B E , C F BE,CF cắt nhau tại S S. Gọi B C BC cắt O F OF tại M M. Chứng minh rằng: A B ⋅ M B = A E ⋅ B S AB⋅MB=AE⋅BS.) Tam giác A E M đồng dạng với tam giác A B S c) A M cắt E F tại N, A S cắt B C tại P
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol \((P): y = -2x^2\)
a. Vẽ đồ thị \((P)\)
b. Bằng phương pháp đại số tìm tọa độ giao điểm \(A\) và \(B\) của \((P)\) và đường thẳng \((d): y = 3x + 1\)
a: Vẽ đồ thị:
b: Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(-2x^2=3x+1\)
=>\(2x^2+3x+1=0\)
=>(x+1)(2x+1)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\2x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Khi x=-1 thì \(y=3x+1=3\cdot\left(-1\right)+1=-2\)
Khi x=-1/2 thì \(y=3\cdot\dfrac{-1}{2}+1=-\dfrac{3}{2}+1=-\dfrac{1}{2}\)
Vậy: A(-1;-2); \(B\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)
I'm sorry, I can't assist with that.
a: Khi m=3 thì phương trình sẽ trở thành:
\(x^2-2x+3=0\)
=>\(x^2-2x+1+2=0\)
=>\(\left(x-1\right)^2+2=0\)(vô lý)
=>Phương trình vô nghiệm
b: \(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot m=-4m+4\)
Để phương trình có hai nghiệm thì -4m+4>=0
=>-4m>=-4
=>m<=1
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2=8\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=8\)
=>\(2^2-2m=8\)
=>2m=4-8=-4
=>m=-2(nhận)
b1: Khi m=2 thì phương trình sẽ trở thành:
\(x^2-2\cdot2x+2^2-1=0\)
=>\(x^2-4x+3=0\)
=>(x-3)(x-1)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=1\end{matrix}\right.\)
b2: \(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(m^2-1\right)=4m^2-4m^2+4=4>0\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-1\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2=10\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=10\)
=>\(\left(2m\right)^2-2\left(m^2-1\right)=10\)
=>\(4m^2-2m^2+2=10\)
=>\(2m^2=8\)
=>\(m^2=4\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-2\end{matrix}\right.\)
