Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

\(1a,x^2-11+35=0\)

Theo đề ta có các hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-11\\c=35\end{matrix}\right.\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-11\right)^2-4.35.1=-19\)

Vì: \(\Delta< 0\) nên phương trình vô nghiệm.

\(b,\frac{1}{2}x^2+12x+30=0\)

Theo đề ta có các hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=12\\c=30\end{matrix}\right.\)

\(\Delta=b^2-4ac=12^2-4.\frac{1}{2}.30=84\)

Vì: \(\Delta>0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

\(c,0,25x^2-8x+32=0\)

Theo đề ta có các hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}a=0,25\\b=-8\\c=32\end{matrix}\right.\)

\(\Delta=b^2-4ac=64-4.0,25.32=32\)

Vì: \(\Delta>0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

\(d,\sqrt{2}x^2-3x-5=0\)

Theo đề ta có các hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{2}\\b=-3\\c=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-3\right)^2+4.\sqrt{2}.5=9+20\sqrt{2}\)

Vì: \(\Delta>0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 1:

a) $x^2-11x+35=0$ có $a=1;b=-11;c=35$ có \(\Delta=\left(-11\right)^2-4.1.35=-19< 0\) nên phương trình vô nghiệm

b) \(\frac{1}{2}x^2+12x+30=0\) có \(a=\frac{1}{2};b=12;c=30\) có \(\Delta=12^2-4.\frac{1}{2}.30=84>0\)

nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

c) $0,25x^2-8x+32=0$ có $a=0,25;b=-8;c=32$ có \(\Delta=\left(-8\right)^2-4.0,25.32=32>0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

d) \(\sqrt{2}x^2-3x-5=0\) có \(a=\sqrt{2};b=-3;c=-5\) có \(\Delta=\left(-3\right)^2-4.\sqrt{2}.\left(-5\right)=9+20\sqrt{2}>0\) nên hệ có 2 nghiệm phân biệt

Bài 2:

a) \(5x^2+\sqrt{5}x+\frac{1}{4}=0\)

có \(\Delta=\left(\sqrt{5}\right)^2-4.5.\frac{1}{4}=0\) nên phương trình có nghiệm kép là \(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{5}}{2.5}=-\frac{\sqrt{5}}{10}\)

b) \(2x^2-3\sqrt{2}x+2,5=0\)

có \(\Delta=\left(3\sqrt{2}\right)^2-4.2.2,5=-2< 0\) nên phương trình vô nghiệm

ghê ghê :DDD

ĐK : \(x\in R\)

Đặt \(x^2+x=a\) . Phương trình trở thành :

\(a-\dfrac{7}{a+1}=5\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a\left(a+1\right)}{a+1}-\dfrac{7}{a+1}=\dfrac{5\left(a+1\right)}{a+1}\)

\(\Leftrightarrow a^2+a-7=5a+5\)

\(\Leftrightarrow a^2-4a-12=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2+4.12=16+48=64>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1=\dfrac{4+\sqrt{64}}{2}=6\\a_2=\dfrac{4-\sqrt{64}}{2}=-2\end{matrix}\right.\)

Với : \(a=6\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=6\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-6=0\)

\(\Delta=1+4.6=25>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2}=2\\x_2=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{2}=-3\end{matrix}\right.\)

Với \(a=-2\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=-2\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+2=0\)

\(\Delta=1-4.2=-7< 0\)

Nên phương trình vô nghiệm .

Vậy \(S=\left\{-3;2\right\}\)

Lời giải:

Với bài toán này ta sử dụng pp tìm điểm rơi, rồi áp dụng BĐT AM-GM

Ta có:

\(\frac{\sqrt{5}-1}{2}x^2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}y^2\geq 2.\frac{\sqrt{5}-1}{2}xy=(\sqrt{5}-1)xy\)

\(\frac{3-\sqrt{5}}{2}x^2+z^2\geq 2\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}xz=\sqrt{6-2\sqrt{5}}xz=(\sqrt{5}-1)xz\)

\(\frac{3-\sqrt{5}}{2}y^2+z^2\geq 2\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}yz=\sqrt{6-2\sqrt{5}}yz=(\sqrt{5}-1)yz\)

Cộng các BĐT trên theo vế rồi rút gọn:

\(\Rightarrow x^2+y^2+2z^2\geq (\sqrt{5}-1)(xy+yz+xz)=\sqrt{5}-1\)

Vậy \(P_{\min}=\sqrt{5}-1\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\sqrt{\frac{2}{3-\sqrt{5}}}z\)

Lời giải:

Đặt $x^2=t$. Khi đó pt đã cho trở thành:

\(t^2-2t+(m+2)=0(*)\)

Để pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì $(*)$ phải có một nghiệm dương và một nghiệm bằng $0$

$(*)$ có nghiệm $0$ \(\Leftrightarrow 0^2-2.0+m+2=0\Rightarrow m=-2\)

Thay $m=-2$ trở lại $(*)$
\(t^2-2t=0\), pt này còn nghiệm khác $t=2$ dương (thỏa mãn)

Vậy $m=-2$. Khi đó pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt: \(0; \sqrt{2}; -\sqrt{2}\)

a) \(\sqrt{x+5}=2x-1\)

Đk: \(x\ge\dfrac{1}{2}\)

Bình phương 2 vế :

\(x+5=4x^2-4x+1\)

\(4x^2-5x-4=0\)

\(\Delta=89\)

=> Phương trình có 2 nghiệm

\(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{5-\sqrt{89}}{8}\left(KTM\right)\\x_2=\dfrac{5+\sqrt{89}}{8}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy ....

b) \(x+\sqrt{x-5}+7=0\) . ĐK : \(x\ge5\)

Vì \(x\ge5\Rightarrow x+\sqrt{x-5}+7\ge12\)

=> Phương trình vô nghiệm.

a. \(\sqrt{x+5}=2x-1\left(x\ge\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+5=4x^2-4x+1\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4x+1-x-5=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-5x-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5+\sqrt{89}}{8}\left(n\right)\\x=\dfrac{5-\sqrt{89}}{8}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

b. \(x+\sqrt{x-5}+7=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-5}=-7-x\left(ĐK:x\ge5\right)\)

\(\Leftrightarrow x-5=-x^2-14x+49\)

\(\Leftrightarrow x^2+15x-54=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(l\right)\\x=-18\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

b) x³+3x²+2x=0

=) x.(x²+3x+2)=0

=) x.(x² +x+2x+2)=0

=) x.( x.(x+1)+2.(x+1) )=0

=) x.(x+1).(x+2)=0

=) x=0

x=-1

x=-2

Lời giải:

Với $a=0$ thì pt trở thành: \(bx+c=0\)

\((c+a)^2< ab+bc-2ac\Leftrightarrow c^2< bc\Rightarrow c(c-b)< 0\Rightarrow 0< c< b\)

PT luôn có nghiệm \(x=\frac{-c}{b}\)

Với $a\neq 0$

Nếu \(ac<0\Rightarrow b^2-ac>0\Leftrightarrow \Delta>0\) nên pt \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm

Nếu \(ac>0, c>0\Rightarrow a>0\)

Ta có: \((c+a)^2< ab+bc-2ac< ab+bc\) do \(ac>0\)

\(\Leftrightarrow (c+a)^2< b(a+c)\)

Vì \(a>0, c>0\Rightarrow a+c>0\), chia 2 vế cho $a+c$ thu được:

\(0< c+a< b\Rightarrow \Delta'=b^2-4ac>(c+a)^2-4ac=(a-c)^2\geq 0\)

Do đó pt \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm

ta có : \(\Delta'=\) \(\left[-\left(m+2\right)\right]^2-m-1\) = m² + 4m + 4 - m - 1

= m² + 3m + 3 = (m + \(\dfrac{3}{2}\) )² + \(\dfrac{3}{4}\) > 0

=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

theo hệ thức vi-et. ta có :

x₁ + x₂ = 2(m+2)

x₁.x₂ = m+1

ta có : x₁(1- 2x₂ ) + x₂ ( 1 - 2x₁ ) = m²

=> x₁ - 2x₁x₂ + x₂ - 2x₁x₂ = m²

<=> (x₁ + x₂₎ - 4x₁x₂ = m²

<=> 2m+4 - 4( m + 1 ) = m²

<=> 2m + 4 - 4m - 4 = m²

<=> m² + 2m = 0

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}m=0\\m=-2\end{matrix}\right.\)