Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai tổng quát: 

\(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\)

Ta biến đổi phương trình theo từng bước như sau:

• Chuyển hệ số \(c\) sang vế phải: \(ax^2+bx=-c\).
• Chia cả hai vế cho hệ số \(a\ne0\): \(x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}\).
• Tách \(\dfrac{b}{a}x=2.x.\dfrac{b}{2a}\), thêm vào hai vế cùng một biểu thức để biến đổi vế trái về dạng bình phương của một tổng:

\(x^2+2.x.\dfrac{b}{2a}+\dfrac{b^2}{4a^2}=-\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}\\ \Leftrightarrow\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\qquad\left(1\right)\)

Kí hiệu \(\Delta=b^2-4ac\) (đọc là "đenta"), gọi nó là biệt thức của phương trình.

Ta có thể dựa vào dấu của \(\Delta\) để xác định số nghiệm và tìm nghiệm tương ứng của phương trình:

• Nếu \(\Delta=b^2-4ac>0\): \(\left(1\right)\Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\). Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\), \(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\).
• Nếu \(\Delta=b^2-4ac=0\): \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0\). Do đó phương trình có nghiệm kép \(x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\).
• Nếu \(\Delta=b^2-4ac< 0\): \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2< 0\) (vô lí). Do đó phương trình vô nghiệm.

Tổng quát, ta có kết luận:

Xét phương trình \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\), biệt thức \(\Delta=b^2-4ac\):

• Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a};x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\).
• Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\).
• Nếu \(\Delta< 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Như vậy, để giải phương trình bậc hai, ta thực hiện theo các bước:

• Bước 1: Đưa phương trình về dạng \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\).
• Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\).
• Bước 3: Dựa vào dấu của \(\Delta\) để kết luận nghiệm của phương trình.

Ví dụ 1: Giải phương trình \(3x^2+5x-1=0\).

Ta có: \(\Delta=5^2-4.3.\left(-1\right)=37>0\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{-5+\sqrt{37}}{6};x_2=\dfrac{-5-\sqrt{37}}{6}\).

Ví dụ 2: Giải phương trình \(x^2+x+\dfrac{1}{4}=0\).

Ta có: \(\Delta=1^2-4.1.\dfrac{1}{4}=0\).

Vậy phương trình có nghiệm kép \(x_1=x_2=-\dfrac{1}{2}\).

Ví dụ 3: Giải phương trình \(2x^2+8x+9=0\).

Ta có: \(\Delta=8^2-4.2.9=-8< 0\).

Vậy phương trình vô nghiệm.

- Ta có thể dùng biệt thức \(\Delta\) để giải quyết các bài toán chứa tham số.

Ví dụ: Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \(x^2-2mx+m^2-3m+2=0\) có 2 nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm?

Nhận xét: Phương trình trên là một phương trình bậc hai.

Ta có: \(\Delta=\left(2m\right)^2-4.1.\left(m^2-3m+2\right)=12m-8\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\Leftrightarrow12m-8>0\Leftrightarrow m>\dfrac{2}{3}\).

Phương trình có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\Delta=0\Leftrightarrow12m-8=0\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3}\).

Phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta< 0\Leftrightarrow12m-8< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{2}{3}\).