Bài 2: Đồ thị hàm số y = ax^2 (a khác 0)

- Ta đã biết, trên mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hàm số \(y=f\left(x\right)\) là tập hợp các điểm \(M\left(x;f\left(x\right)\right)\). Để xác định một điểm thuộc đồ thị, ta lấy một giá trị của \(x\) làm hoành độ, tung độ là giá trị tương ứng của \(y=f\left(x\right)\).

Như vậy, để vẽ đồ thị hàm số ​\(y=ax^2\left(a\ne0\right)\), ta làm theo các bước:​

+) Bước 1: Lập bảng giá trị tương ứng giữa \(x\) và \(y\) để xác định được tọa độ một số điểm thuộc đồ thị.

+) Bước 2: Vẽ hệ trục tọa độ. Trên mặt phẳng tọa độ, xác định vị trí các điểm tìm được ở bước 1.

+) Bước 3: Nối các điểm vừa xác định, ta được đồ thị hàm số.

- Áp dụng cách làm tương tự với hàm số \(y=ax^2\left(a\ne0\right)\), ta thu được nhận xét: 

+) Đồ thị của hàm số \(y=ax^2\left(a\ne0\right)\) là một đường cong, gọi là parabol.

+) Đồ thị trên luôn đi qua gốc tọa độ và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.

- Ở bài trước ta đã biết:

• Với \(a>0\) ta có: \(y=0\) khi \(x=0\); \(y>0\) với mọi \(x\ne0\).
• Với \(a< 0\) ta có: \(y=0\) khi \(x=0\); \(y< 0\) với mọi \(x\ne0\).​

Như vậy ta có nhận xét:

+) Khi \(a>0\): đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành. \(O\) là điểm thấp nhất của đồ thị.​

+) Khi \(a< 0\): đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành. \(O\) là điểm cao nhất của đồ thị.

- Ta xét một số ví dụ để làm rõ các nhận xét trên:

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số \(y=2x^2\)

Bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\): 

Ta xác định được các điểm thuộc đồ thị hàm số: \(M'\left(-3;18\right)\), \(N'\left(-2;8\right)\), \(P'\left(-1;2\right)\), \(O\left(0;0\right)\), \(P\left(1;2\right)\), \(N\left(2;8\right)\), \(M\left(3;18\right)\).

Nối các điểm trên, ta được đồ thị hàm số \(y=2x^2\):

Từ đồ thị, ta dễ thấy:

• Đồ thị hàm số là đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.
• Đồ thị nằm phía trên trục hoành. Điểm thấp nhất là gốc tọa độ.
• Các điểm \(M\) và \(M'\), \(N\) và \(N'\), \(P\) và \(P'\) có hoành độ đối nhau và tung độ bằng nhau. Tổng quát: Các điểm có hoành độ đối nhau đều có cùng tung độ.
• Hàm số đồng biến khi \(x>0\) (do đồ thị đi lên từ trái sang phải) và nghịch biến khi \(x< 0\) (do đồ thị đi xuống từ trái sang phải) \(\rightarrow\) Minh họa cho nhận xét trong bài trước là đúng.

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số \(y=-\dfrac{1}{2}x^2\)

Bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\):

Ta xác định được các điểm thuộc đồ thị hàm số: \(M'\left(-4;-8\right)\), \(N'\left(-2;-2\right)\), \(P'\left(-1;-\dfrac{1}{2}\right)\), \(O\left(0;0\right)\), \(P\left(1;-\dfrac{1}{2}\right)\), \(N\left(2;-2\right)\), \(M\left(4;-8\right)\).

Nối các điểm trên, ta được đồ thị hàm số:

Từ đồ thị, ta dễ thấy:

• Đồ thị hàm số là đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.
• Đồ thị nằm phía dưới trục hoành. Điểm cao nhất là gốc tọa độ.
• Các điểm \(M\) và \(M'\), \(N\) và \(N'\), \(P\) và \(P'\) có hoành độ đối nhau và tung độ bằng nhau. Tổng quát: Các điểm có hoành độ đối nhau đều có cùng tung độ.
• Hàm số đồng biến khi \(x< 0\) (do đồ thị đi lên từ trái sang phải) và nghịch biến khi \(x>0\) (do đồ thị đi xuống từ trái sang phải) \(\rightarrow\) Minh họa cho nhận xét trong bài trước là đúng.

Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số \(y=ax^2\) đi qua điểm \(A\left(-1;-3\right)\). Tính hệ số \(a\)?

Lời giải: Do đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\) nên tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn hàm số

\(\Rightarrow-3=a.\left(-1\right)^2\Rightarrow a=-3\).