Bài 1: Hàm số y = ax^2 (a khác 0)

1. Hàm số \(y=ax^2\left(a\ne0\right)\) 

- Xét công thức \(y=ax^2\left(a\ne0\right)\): Ta thấy mỗi giá trị của \(x\) xác định một giá trị tương ứng duy nhất của \(y\). Ta nói \(y=ax^2\left(a\ne0\right)\) là một hàm số biến \(x\).

- Hệ số \(a\) có thể là số nguyên, số thập phân, phân số hay căn thức; có thể nhận giá trị âm hoặc dương nhưng phải thỏa mãn điều kiện \(a\ne0\).

Ví dụ: \(y=3x^2\), \(y=-\dfrac{2}{3}x^2\), \(y=\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2\), \(y=\left(\sqrt{5}-1\right)x^2\) là các hàm số có dạng \(y=ax^2\left(a\ne0\right)\).

Ví dụ: Hàm số \(y=\left(m^2+1\right)x^2\) (với \(m\) là tham số) cũng là một hàm số \(y=ax^2\left(a\ne0\right)\) vì với mọi \(m\) ta có \(m^2+1>0\). Nhưng hàm số \(y=\left(2m-3\right)x^2\) không thỏa mãn dạng trên vì với \(m=\dfrac{3}{2}\) ta có \(2m-3=2.\dfrac{3}{2}-3=0\).

- Trong Toán học và một số môn học khác, ta vẫn gặp một số công thức dưới dạng hàm số \(y=ax^2\left(a\ne0\right)\). 

Ví dụ: Diện tích hình vuông cạnh \(a\) được tính bởi công thức \(S=a^2\); Quãng đường của vật chuyển động nhanh dần đều (mốc thời gian tính từ lúc xuất phát tại gốc tọa độ, gia tốc \(a\)) được tính bởi công thức \(s=\dfrac{a}{2}t^2\) (trong đó \(t\) là thời gian);...

2. Tính chất của hàm số \(y=ax^2\left(a\ne0\right)\)

Tính chất 1: Hàm số \(y=ax^2\left(a\ne0\right)\) xác định với mọi \(x\in R\).

+) Xét hàm số \(y=ax^2\left(a>0\right)\):

Nếu \(x_1< x_2< 0\) thì \(x_1^2>x_2^2>0\Rightarrow ax_1^2>ax_2^2\Rightarrow y_1>y_2\) \(\Rightarrow\) Trong trường hợp này, khi \(x\) tăng thì \(y\) giảm và ngược lại nên hàm số nghịch biến.

Nếu \(x_1>x_2>0\) thì \(x_1^2>x_2^2>0\Rightarrow ax_1^2>ax_2^2\Rightarrow y_1>y_2\) \(\Rightarrow\) Trong trường hợp này, khi \(x\) giảm thì \(y\) giảm và ngược lại nên hàm số đồng biến.

+) Xét hàm số \(y=ax^2\left(a< 0\right)\):

Nếu \(x_1< x_2< 0\) thì \(x_1^2>x_2^2>0\Rightarrow ax_1^2< ax_2^2\Rightarrow y_1< y_2\) \(\Rightarrow\) Trong trường hợp này, khi \(x\) tăng thì \(y\) và ngược lại nên hàm số đồng biến.

Nếu \(x_1>x_2>0\) thì \(x_1^2>x_2^2>0\Rightarrow ax_1^2< ax_2^2\Rightarrow y_1< y_2\) \(\Rightarrow\) Trong trường hợp này, khi \(x\) giảm thì \(y\) tăng và ngược lại nên hàm số nghịch biến.

Như vậy ta có nhận xét: 

Tính chất 2: 

• Nếu \(a>0\) thì hàm số đồng biến khi \(x>0\), nghịch biến khi \(x< 0\).
• Nếu \(a< 0\) thì hàm số nghịch biến khi \(x>0\), đồng biến khi \(x< 0\).

Ví dụ: Hàm số \(y=2x^2\) có \(a=2>0\) nên nó đồng biến khi \(x>0\), nghịch biến khi \(x< 0\). Hàm số \(y=-\dfrac{1}{2}x^2\) có \(a=-\dfrac{1}{2}< 0\) nên nó nghịch biến khi \(x>0\), đồng biến khi \(x< 0\).

+) Chú ý: Ta có thể ghi nhớ bằng cách: Hàm số đồng biến khi \(a\) cùng dấu với \(x\) và nghịch biến khi \(a\) trái đấu với \(x\).

Ví dụ: Tìm \(a\) để hàm số \(y=\left(2a+3\right)x^2\) đồng biến khi \(x< 0\)?

Lời giải: Để hàm số đồng biến khi \(x< 0\) thì \(2a+3< 0\Leftrightarrow a< -\dfrac{3}{2}\).

Nhận xét: 

• Khi \(a>0\) ta có: \(y=0\) khi \(x=0\) và \(y>0\) với mọi \(x\ne0\). Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(y=0\).
• Khi \(a< 0\) ta có: \(y=0\) khi \(x=0\) và \(y< 0\) với mọi \(x\ne0\). Do đó giá trị lớn nhất của hàm số là \(y=0\).