Với điều kiện \(\left(m-2\cos x\right)\left(m-2\sin x\right)\ne0\) (*) phương trình đã cho tương đương với

\(\left(m\sin x-2\right)\left(m-2\sin x\right)=\left(m\cos x-2\right)=\left(m-2\cos x\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2\sin x-2m-2m\sin^2x+4\sin x=m^2\cos x-2m-2m\cos^2x+4\cos x\)

\(\Leftrightarrow2m\left(\cos^2x-\sin^2x\right)-m^2\left(\cos x-\sin x\right)-4\left(\cos x-\sin x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\cos x-\sin x\right)\left(2m\left(\cos x+\sin x\right)-m^2-4\right)=0\) (1)

a) Nếu \(m=0\) thì (1) \(\Leftrightarrow\cos x-\sin x=0\)\(\Leftrightarrow\tan x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\). Nghiệm này sẽ không thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi \(\left(m-2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)\left(m-2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(0-\left(-1\right)^k\sqrt{2}\right)\left(0-\left(-1\right)^k\sqrt{2}=0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(-1\right)^k\sqrt{2}=0\) , vô lí.

Vậy khi \(m=0\), phương trình đã cho có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

b) Nếu \(m\ne0\) thì (1) tương đương với tập hợp hai phương trình:

\(\tan x=1\) (2) và \(\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{m^2+4}{2m}\)\(\Leftrightarrow\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{m^2+4}{2m\sqrt{2}}\) (3)

Trong đó phương trình (3) vô nghiệm vì \(\left|\dfrac{m^2+4}{2m\sqrt{2}}\right|=\dfrac{m^2+4}{2\sqrt{2}\left|m\right|}\ge\dfrac{2\sqrt{4m^2}}{2\sqrt{2}\left|m\right|}=\sqrt{2}>1\).

Phương trình (2) có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\). Nghiệm này sẽ không thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi

\(\left(m-2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)\left(m-2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(m-\left(-1\right)^k\sqrt{2}\right)\left(m-\left(-1\right)^k\sqrt{2}=0\right)\)

\(\Leftrightarrow m=\left(-1\right)^k\sqrt{2}\), trái giả thiết \(m\ne\pm\sqrt{2}\).

Tóm lại, trong mọi trường hợp phương trình đã cho có nghiệm \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) Điều kiện \(x\in[20\pi;30\pi]\) tương đương với \(20\pi\le\dfrac{\pi}{4}+k\pi\le30\pi\)\(\Leftrightarrow20-\dfrac{1}{4}\le k\le30-\dfrac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow k=21;22;23;...;29\). Số nghiệm của phương trình trong đoạn đang xét là 9.

Lời giải:

Ta có:

\(P=\int \frac{2xdx}{(x+1)(x^2+1)^2}=\int \frac{2x(x-1)dx}{(x^2-1)(x^2+1)^2}\)

\(=\int \frac{x(x-1)}{x^2+1}\left(\frac{1}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+1}\right)dx\)

\(=\int \frac{x(x-1)}{(x^2+1)(x^2-1)}dx-\int \frac{x(x-1)}{(x^2+1)^2}dx=M-N\)

Xét M

\(M=\int \frac{x(x-1)}{(x^2+1)(x^2-1)}dx=\int \frac{x(x-1)}{2}\left(\frac{1}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+1}\right)dx\)

\(=\int \frac{x}{2(x+1)}dx-\int \frac{x(x-1)}{2(x^2+1)}dx\)

\(=\frac{1}{2}\int (1-\frac{1}{x+1})dx-\frac{1}{2}\int (1-\frac{x+1}{x^2+1})dx\)

\(=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int \frac{d(x+1)}{x+1}-\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int \frac{(x+1)dx}{x^2+1}\)

\(=-\frac{1}{2}\ln |x+1|+\frac{1}{2}\int \frac{(x+1)dx}{x^2+1}\)

Xét N

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x-1\\ dv=\frac{xdx}{(x^2+1)^2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\int \frac{xdx}{(x^2+1)^2}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{(x^2+1)^2}=\frac{-1}{2(x^2+1)}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow N=\frac{1-x}{2(x^2+1)}+\int \frac{1}{2(x^2+1)}dx\)

Do đó: \(P=M-N=-\frac{1}{2}\ln |x+1|+\frac{x-1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\int \frac{xdx}{x^2+1}\)

\(=\frac{-1}{2}\ln |x+1|+\frac{x-1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{4}\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}\)

\(=\frac{-1}{2}\ln |x+1|+\frac{x-1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{4}\ln |x^2+1|+c\)

bài 1 mk o bt lm ; nên mk lm câu 2 thôi nha .

bài 2) ta có : \(\log_x\left(x-\dfrac{1}{4}\right)\ge2\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{4}\ge x^2\Leftrightarrow x^2-x+\dfrac{1}{4}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\)

mà ta có : \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow0\le\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

vậy \(x=\dfrac{1}{2}\)

Câu 47:

Ta có \(\log_3\frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4\)

\(\Leftrightarrow \log_3(1-xy)-\log_3(x+2y)=3(xy-1)-1+(x+2y)\)

\(\Leftrightarrow \log_3(3-3xy)+(3-3xy)=\log_3(x+2y)+(x+2y)\)

Xét hàm \(f(x)=\log_3x+x\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x\ln 3}+1>0\) với \(x>0\)

Do đó , hàm là hàm đồng biến trên TXĐ

\(\Rightarrow f(3-3xy)=f(x+2y)\Leftrightarrow 3-3xy=x+2y\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{3-x}{3x+2}\). Vì \(x,y>0\Rightarrow \frac{3-x}{3x+2}>0\Rightarrow 0< x< 3\)

Ta có \(P=x+\frac{3-x}{3x+2}\)

\(P'=\frac{9x^2+12x-7}{(3x+2)^2}=0\Leftrightarrow x=\frac{-2+\sqrt{11}}{3}\) (chọn) hoặc \(x=\frac{-2-\sqrt{11}}{3}\) (loại vì $x>0$)

Lập bảng biến thiên ta suy ra \(P_{\min}=P(\frac{-2+\sqrt{11}}{3})=\frac{-3+2\sqrt{11}}{3}\)

Đáp án D

Bài 48:

PT hoành độ giao điểm:

\(x^3-3x^2+x+2-(mx-m+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(x^2-2x-1-m)=0\)

Để hai đths cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì pt trên phải có ba nghiệm phân biệt, tức là \(x^2-2x-(m+1)=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-2-(m+1)\neq 0\\ \Delta'=1+(m+1)>0\end{matrix}\right.\Rightarrow m> -2\)

Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của pt trên thì \(x_1,x_2=\frac{-b'\pm \sqrt{\Delta'}}{a}=1\pm \sqrt{m+2}\)

Do đề bài không yêu cầu thứ tự các điểm, nên ta đặt ba giao điểm của 2 đths là:

\(A(1;1)\)

\(B(x_1; mx_1-m+1)\)

\(C(x_2;mx_2-m+1)\)

(miễn sao thỏa mãn tồn tại 2 đoạn thẳng tạo bởi 2 trong 3 điểm trên có độ dài bằng nhau)

Ta có:

\(AB=\sqrt{(x_1-1)^2+(mx_1-m)^2}=\sqrt{(x_1-1)^2(m^2+1)}=\sqrt{(m+2)(m^2+1)}\)

\(AC=\sqrt{(x_2-1)^2+(mx_2-m)^2}=\sqrt{(x_2-1)^2(m^2+1)}=\sqrt{(m+2)(m^2+1)}\)

\(BC=.....\)

Nhìn trên thì dễ thấy \(AB=AC\) luôn bằng nhau với mọi \(m>-2\), tức là thỏa mãn đkđb

Vậy \(m>-2 \) hay \(m\in (-2;+\infty)\)

Đáp án D

chưa học nên éo biết làm

Lời giải:

Đặt \(z=a+bi\)

Ta có: \(|z|-2\overline{z}=-7+3i+z\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a^2+b^2}-2(a-bi)=-7+3i+a+bi\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{a^2+b^2}-2a)+2bi=(-7+a)+i(b+3)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{a^2+b^2}-2a=-7+a(1)\\ 2b=b+3(2)\end{matrix}\right.\)

Từ (2) suy ra \(b=3\)

Thay vào (1): \(\sqrt{a^2+9}=3a-7\)

\(\Rightarrow (3a-7)^2=a^2+9\)

\(\Leftrightarrow 9a^2+49-42a=a^2+9\)

\(\Leftrightarrow 8a^2-42a+40=0\)

\(\Leftrightarrow a=4\) (chọn) hoặc \(a=\frac{5}{4}\) (loại do \(a\in\mathbb{Z}\) )

Vậy số phức \(z=4+3i\)

\(\Rightarrow w=1-(4+3i)+(4+3i)^2=4+21i\)

\(\Rightarrow |w|=\sqrt{4^2+21^2}=\sqrt{457}\)

Cho 1 bài cụ thể đi b. Nói thế này biết đâu mà lần

Lời giải:

Ta có: \(y=x^3-6x^2+mx+1\Rightarrow y'=3x^2-12x+m\)

Để hàm $y$ luôn đồng biến với mọi \(x\in (0;+\infty)\Rightarrow y'=3x^2-12x+m\geq 0\forall x\in (0;+\infty)\)

\(\Leftrightarrow m\geq 12x-3x^2\forall x\in (0;+\infty)\)

\(\Leftrightarrow m\geq \max (12x-3x^2)\forall x\in (0;+\infty)\)

Ta thấy \(12x-3x^2=-3(x-2)^2+12\leq 12\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=2\in (0;+\infty)\Rightarrow \max(12x-3x^2)\forall x\in (0;+\infty)\) là $12$

Vậy \(m\geq 12\)

Câu 2 đề thiếu rồi kìa. Cái cuối cùng là tổ hợp chập bao nhiêu của 2n + 1 thế???

1/ Vì M thuộc \(d_3\) nên ta có tọa độ của M là: \(M\left(2a;a\right)\)

Khoản cách từ M đến \(d_1\) là:

\(d\left(M,d_1\right)=\dfrac{\left|2a+a+3\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{\left|3a+3\right|}{\sqrt{2}}\)

Khoản cách từ M đến \(d_2\) là:

\(d\left(M,d_2\right)=\dfrac{\left|2a-a-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{\left|a-4\right|}{\sqrt{2}}\)

Theo đề bài ta có:

\(\dfrac{\left|3a+3\right|}{\sqrt{2}}=2.\dfrac{\left|a-4\right|}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|3a+3\right|=2.\left|a-4\right|\)

\(\Leftrightarrow a^2+10a-11=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-11\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(2;1\right)\\M\left(-22;-11\right)\end{matrix}\right.\)

2/ Ta có:

\(C_{2n+1}^1+C_{2n+2}^2+...+C_{2n+1}^n=2^{20}-1\)

\(\Leftrightarrow2\left(C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+C_{2n+2}^2+...+C_{2n+1}\right)^n=2^{21}\)

\(\Leftrightarrow C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+C_{2n+2}^2+...+C_{2n+1}^n+...+C_{2n+1}^{2n+1}=2^{21}\)

\(\Leftrightarrow2^{2n+1}=2^{21}\)

\(\Leftrightarrow n=10\)

Ta có số hạng tổng quát trong khai triển của \(\left(\dfrac{1}{x^4}+x^7\right)^{10}\) là:

\(C_{10}^k.\left(\dfrac{1}{x^4}\right)^{10-k}.\left(x^7\right)^k=C_{10}^k.x^{11k-40}\)

Để số hạng chứa \(x^{26}\) thì \(11k-40=26\)

\(\Leftrightarrow k=6\)

Vậy hệ số cần tìm là: \(C_{10}^6\)

Lời giải:

Ta có: \(y=-x^3+3x^2-1\Rightarrow y'=-3x^2+6x\)

Để hàm đồng biến thì \(y'=-3x^2+6x\geq 0\)

\(\Leftrightarrow x(x-2)\leq 0\Leftrightarrow 0\leq x\leq 2\)

\(\Leftrightarrow x\in [0;2]\)

Ta có thể chọn đáp án B

câu B nhá bạn

tính y đạo hàm rồi cho y'=0

tìm nghệm và xét dấu

B